解讀條件與成果擴(kuò)大：較難題的教學(xué)關(guān)鍵

☉江蘇省張家港外國(guó)語學(xué)校 周桂榮

進(jìn)入中考復(fù)習(xí)之后，每份綜合試卷都會(huì)有2～3道較難題用來承擔(dān)區(qū)分選拔功能，這些較難題往往因?yàn)樾栔g的梯度拉開較大，學(xué)生在較短時(shí)間內(nèi)不能獲得思路，或者苦惱于無思路，待到講評(píng)時(shí)教師一講又覺得特別簡(jiǎn)單，往往發(fā)出“考試時(shí)我怎么就沒有想到這個(gè)思路呢”的感嘆.本文結(jié)合最近一次較難題的教學(xué)案例，談?wù)勗谳^難題教學(xué)過程中要注意引導(dǎo)學(xué)生解讀條件并促進(jìn)學(xué)生成果擴(kuò)大，以便自主發(fā)現(xiàn)較難題的求解思路.

一、較難題的教學(xué)案例

（1）AP⊥BC時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t.

（2）在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存某一時(shí)刻，使得△APQ為直角三角形？如果存在，求出t的值.

（3）當(dāng)t＞6時(shí)，記△APQ的面積為S，求S與t的關(guān)系式.

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

講評(píng)記錄：第（1）問比較簡(jiǎn)單，如圖2，只是讓學(xué)生初步感受過點(diǎn)A作BC邊上的高AP，并熟悉該圖形中一些重要數(shù)據(jù)，比如，△ABP三邊之比是1∶2∶，△APC三邊之比是1∶1∶，學(xué)生對(duì)這個(gè)小問都能順利解決.

第（2）問第一種情況就是在圖2的基礎(chǔ)上，畫出BC邊上的高AQ，PQ=BQ，這就是符合要求的一種情況.但是當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AC邊上時(shí)，有學(xué)生構(gòu)圖時(shí)就出現(xiàn)了困難.筆者安排學(xué)生上臺(tái)先在AC上任取一點(diǎn)P，連接BP，并取中點(diǎn)Q，不斷調(diào)整構(gòu)造出如圖4這樣的相對(duì)精準(zhǔn)的圖形，這時(shí)大家就發(fā)現(xiàn)了△ABP是特殊三角形（等腰三角形），從而就容易求出AP的長(zhǎng)，于是運(yùn)動(dòng)時(shí)間就確定了.

對(duì)于第（3）問，學(xué)生的主要障礙在AP邊上的高QH無法用含t的式子表示.這時(shí)我們引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)讀題，深入思考“動(dòng)中點(diǎn)”Q的運(yùn)動(dòng)軌跡，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了如圖6這樣的情況，于是想清了AP邊上的高一定等于Q1H，進(jìn)一步利用直角三角形Q1HC中的邊角關(guān)系.由CQ1=3，就可求出Q1H的長(zhǎng)為

教后反思：教學(xué)過程中，在第（2）問求解出現(xiàn)困難時(shí)，安排學(xué)生構(gòu)造草圖、反復(fù)調(diào)整，這是對(duì)題目條件的深入理解、精準(zhǔn)構(gòu)圖的需要；而對(duì)于第（3）問，當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)困難時(shí)，我們沒有直接告知思路，只是啟發(fā)他們退回條件進(jìn)行分析，想清Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡（也就是促進(jìn)學(xué)生追求“成果擴(kuò)大”，豐富對(duì)中點(diǎn)Q的信息解讀），這樣對(duì)于發(fā)現(xiàn)AP邊上的高是不變的很有幫助.

考題2：已知正方形ABCD，點(diǎn)A（0，-4）、B（1，-4）、C（1，-5）、D（0，-5），拋物線y=x2+mx-2m-4（m為常數(shù)）的頂點(diǎn)為M.

（1）小海發(fā)現(xiàn)拋物線會(huì)經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，請(qǐng)分析小海的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由；

（2）求頂點(diǎn)M的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；

（3）若拋物線y=x2+mx-2m-4（m為常數(shù)）與正方形ABCD的邊有交點(diǎn)，求m的取值范圍.

講評(píng)記錄：（1）拋物線y=x2+mx-2m-4改寫為y=（x-2）m+x2-4，于是可確認(rèn)x=2時(shí)，y的值為0，與m無關(guān)，即拋物線經(jīng)過定點(diǎn)（2，0）.

（3）對(duì)于這一問，不少學(xué)生表示沒有思路，追問他們?cè)颍l(fā)現(xiàn)多數(shù)學(xué)生感覺拋物線是運(yùn)動(dòng)的，無法畫出草圖分析.于是先引導(dǎo)學(xué)生分析前兩問，進(jìn)行成果擴(kuò)大.首先，拋物線會(huì)經(jīng)過定點(diǎn)（2，0），進(jìn)一步，頂點(diǎn)坐標(biāo)說明頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么？學(xué)生經(jīng)過分析，取x=-，y=-m2-2m-4，則m=-2x，代入后得y=-x2+4x-4，確認(rèn)了頂點(diǎn)在拋物線y=-（x-2）2上運(yùn)動(dòng).在此基礎(chǔ)上，可以畫出草圖7分析，從而確認(rèn)拋物線在運(yùn)動(dòng)變換過程中與正方形ABCD的兩次臨界相交情況（頂點(diǎn)在點(diǎn)A處，拋物線經(jīng)過點(diǎn)C）.把點(diǎn)A（0，-4）的坐標(biāo)代入y=x2+mx-2m-4，解得m=0；把點(diǎn)C（1，-5）的坐標(biāo)代入y=x2+mx-2m-4，解得m=2.所以0≤m≤2.

圖7

教后反思：較難題的解題思路難以打開時(shí)，往往是因?yàn)榍昂髥栴}之間的“落差”較大，學(xué)生缺少必要的鋪墊式問題來“過渡”，這也啟發(fā)我們?cè)诮忸}教學(xué)中，要善于預(yù)設(shè)鋪墊式問題，通過啟發(fā)式講授幫助學(xué)生順利地獲得思路，提高解題教學(xué)效率，也促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)解題.

考題3：如圖8，⊙O的直徑AB=26，P是AB上（不與點(diǎn)A、B重合）任一點(diǎn)，C、D為⊙O上兩點(diǎn).若∠APD=∠BPC，則稱∠CPD為直徑AB的“回旋角”.

（1）若∠BPC=∠DPC=60°，求證：∠CPD是直徑AB的“回旋角”.

圖8

圖9

教學(xué)記錄：（1）證明的關(guān)鍵是計(jì)算出∠APD=∠BPC=60°.于是∠CPD是直徑AB的“回旋角”.

（2）這一問對(duì)學(xué)生來說有些困難，這時(shí)啟發(fā)他們補(bǔ)全同形，如圖9，延長(zhǎng)CP，交⊙O于點(diǎn)E，連接DE、OD、OC.由的長(zhǎng)為π，r=13，可得圓心角∠DOC=45°.接下來引導(dǎo)學(xué)生思考同弧所對(duì)的圓心角與同弧所對(duì)的“回旋角”有怎樣的關(guān)系.學(xué)生在圖9中推理，如下所示：

∠2=∠3，∠1=∠2，可得∠1=∠3. 由于點(diǎn)D、E關(guān)于AB對(duì)稱，所以PD=PE.于是∠DPC=2∠E.結(jié)合∠DOC=2∠E，得“回旋角”與圓心角相等，即∠DPC=∠DOC=45°.

教后反思：當(dāng)學(xué)生思維受阻時(shí)，教師需要預(yù)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯l(fā)式問題，這些提示語既不能直接告知答案，也不能與答案的距離“過近”，需要設(shè)計(jì)一些“跳一跳，夠得到”的思路啟示或鋪墊式問題，讓學(xué)生繼續(xù)挑戰(zhàn)、接通思路.

二、關(guān)于較難題解題教學(xué)的幾點(diǎn)思考

1.教師要對(duì)較難題關(guān)鍵解題步驟有準(zhǔn)確研判

較難題的講評(píng)往往會(huì)占去很多課堂教學(xué)時(shí)間，有時(shí)講評(píng)之后效果并不理想，因?yàn)橹v評(píng)時(shí)重點(diǎn)不夠突出，難點(diǎn)突破沒有得到充分展示，所以學(xué)生對(duì)難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)、關(guān)鍵步驟沒有達(dá)到深刻理解.這就需要教師在課前解答較難題時(shí)不能只是滿足于解題思路的貫通、答案的獲得，而且要善于解后反思，想清辨明這道較難題的關(guān)鍵步驟是哪一步或哪幾步，難點(diǎn)在哪兒，易錯(cuò)點(diǎn)、易混點(diǎn)在哪兒，怎樣體現(xiàn)“回到概念”去解題的解題理念，這樣在講評(píng)時(shí)才可能做到有的放矢、重點(diǎn)突出地講評(píng)與引導(dǎo).

2.解題教學(xué)之前要精心預(yù)設(shè)鋪墊式問題

較難題的解題教學(xué)之前，教師要精心備課，特別是預(yù)設(shè)鋪墊式問題，以便當(dāng)學(xué)生思維受阻時(shí)能通過恰當(dāng)?shù)奶釂柣騿l(fā)，使學(xué)生“有路可循”，自主發(fā)現(xiàn).鋪墊式問題的設(shè)計(jì)要針對(duì)習(xí)題的難點(diǎn)或關(guān)鍵步驟，圍繞題目條件或某些經(jīng)典問題的結(jié)構(gòu)進(jìn)行.比如，上文“考題3”，當(dāng)學(xué)生思路不通時(shí)，我們通過啟發(fā)學(xué)生思考新定義“回旋角”與圓心角之間的關(guān)系，引領(lǐng)學(xué)生嘗試證明它們相等，從而打開思路，這種鋪墊式問題不但實(shí)現(xiàn)了解題目的，也是向?qū)W生傳遞會(huì)解題的思考方法，即當(dāng)我們遇到一些較難題時(shí)，要善于“向后退”，退到條件再出發(fā)，反復(fù)解讀條件中的信息，成果擴(kuò)大后再迎難而上.

3.引導(dǎo)學(xué)生解后反思想清辨明關(guān)鍵步驟

較難題講評(píng)之后，不少教師一般會(huì)安排一定的時(shí)間讓學(xué)生整理過程，不然有些學(xué)生只顧聽講，似能理解，但記不下來過程，下課之后黑板擦了，很快又忘了.我們認(rèn)為，不但要安排學(xué)生做適當(dāng)?shù)倪^程記錄，還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解后反思，突出解題步驟中哪些是關(guān)鍵步驟，哪些是易錯(cuò)步驟，哪些是自己沒有想到的一種解題念頭，等等.要通過解題教學(xué)中滲透解后反思的教學(xué)環(huán)節(jié)，促進(jìn)學(xué)生善于解后反思這一優(yōu)秀習(xí)慣的養(yǎng)成.