小學數學活動設計之十六 周期與周期現象

背景材料

如果現在是早上9點鐘，問你：24小時以后是幾點鐘?你會毫不猶豫地回答：還是早上9點鐘。因為你很清楚，0點、1點、2點、3點……23點，每隔24小時就重復出現一次。

如果今天是星期一，問你：7天以后是星期幾?你也會回答：還是星期一。因為你很清楚，星期一、星期二……星期天，每隔7天就重復出現一次。

相同的間隔而重復出現的現象稱為周期現象，如“24小時1天”、“7天1星期”、“365天1年”就是我們所熟悉的周期現象。自然界中有很多周期現象，如日出日落、月圓月缺、四季交替，等等。

其中，生物中也有很多周期現象，如人的脈搏大約每隔0.85秒跳一跳，眼睛大約每隔4秒眨一眨。科學家發現，人的體力從弱到強又從強到弱存在著23天的變化周期，人的情緒從低到高又從高到低存在著28天的變化周期，人的智力則存在著33天的變化周期。如果人的體力、情緒與智力都處于高潮期，學習與工作效率就特別高，創造力特別強，最容易出成績；反之，如果人的體力、情緒與智力都處于低潮期，學習與工作效率就特別低，就容易生病或發生事故。

物理學中也有很多周期現象，如單擺運動、簡諧振動、交流電電流、電磁波、放射性元素的半衰期，等等。

數學中也有很多周期現象，小學生可以理解的有循環小數、循環排列、自然數乘方a^TI的個位數字，等等。將來學生們進了中學，還要學習更多的周期現象，如三角函數就是一種周期函數(學了高等數學還可以知道，幾乎所有的周期現象都可以用三角函數來描述)。

教育價值

現代科學認為：周期現象是宇宙中最普遍的現象之一。研究和把握周期現象，是我們認識世界的重要途徑。因此，有必要讓學生從小就認識一些周期現象。新課程小學數學教材中，已經有二些關于周期現象的內容，但與周期現象的普遍性與重要性相比還遠遠不夠。

學習與研究周期現象，有助于學生理解什么是“規律”，以及如何利用“規律”；有助于學生理解什么是“和諧美”，以及如何欣賞“和諧美”；有助于學生對數學與數學學習產生興趣。

適合年級中高年級。

活動內容

活動1 數字中的周期現象

問題(1)把1/7化成小數，其小數點后第100個數字是多少?

問題(2)用7¹⁰⁰表示100個7相乘的積，請問：7¹⁰⁰的個位數字是多少?

對于問題(1)，可以讓學生分小組討論：要求1/7化成小數，小數點后第100個數字，是否一定要真正用除法一直求到1/7的第100位小數呢?

學生學了循環小數，知道1/7可以化成循環小數：

1/7=0.142857

其循環節的長度為6。換句話說，其小數點后的數字，每隔6個數就重復出現一次(典型的周期現象)。又

100÷6=16……4

即100里面有16個6還多4。142857重復出現了16次，又落到第4個數上；也就是說，0.142857的小數點后第100個數字與小數點后第4個數字相同，是8。

問題(1)還可以進一步拓展：把1/7化成小數，其前100位小數的所有的數字之和是多少?(請讀者考慮如何解答)

循環小數是數學上典型的、也是小學生比較容易理解的一種周期現象。

至于問題(2)，“Too的個位數字”的問題與“1/7小數點后第100個數字”的問題類似，沒有必要非把7與7乘100次才知道其個位數字，只要乘幾次就可以發現規律了：

原來，7ⁿ的個位數字也是(周期性)循環反復出現的——7、9、3、1，每隔4個數就重復出現一次，而100里面不多不少恰有25個4，隨著n從1到100，7n的個位數字7、9、3、1正好重復出現25次，所以7100的個位數字是1。

自然數的乘方an的個位數字(或者：末兩位數字)是數學上另一種典型的、也是小學生比較容易理解的周期現象。

活動2青蛙跳(幾何中的周期現象)

教師出示圖1，并按圖示敘述問題：X、Y、Z是平面內不在同一條直線上的三個點。一只青蛙從圖中0號位置出發，第一跳，跳到0號位置關于X對稱的位置1號處；第二跳，又跳到1號位置關于Y對稱的位置2號處；第三跳，又跳到2號位置關于z對稱的位置3號處；第四跳，再跳到3號位置關于X對稱的位置4號處；如此等等，求這只青蛙第2008跳所跳到的位置。

圖1中已經畫出了這只青蛙開始時的0號位置，以及前三跳所分別跳到的1號、2號、3號位置。

教師應該幫每個學生事先準備好一張如圖2所示統一規格的紙片，先請學生們跟著教師的示范，用圓規與直尺確定青蛙第1跳所跳到的1號位置，接著請學生們通過小組討論來確定青蛙第2跳所跳到的2號位置，再請每個學生獨立確定青蛙第3跳所跳到的3號位置。通過這樣的動手操作來充分理解題意。

提出問題：我們能夠通過這樣操作2008次來確定青蛙第2008跳所跳到的2008號位置嗎?如果不能怎么做?

請同學們分組討論。在討論過程中，教師可以給予適當的提示：設法通過開頭的幾次操作找出青蛙跳的規律，然后利用規律去確定青蛙第2008跳所跳到的2008號位置。

事實上，學生只要多操作幾步，并保持每一步操作的正確，就容易發現：青蛙第6跳所跳到的6號位置實際上是與青蛙的出發點O號位置重合的(如圖3所示)。這樣，就可以歸納出一個簡單的規律：青蛙跳來跳去，六步一回頭，即每跳6次又回到原來的出發點。

而2008÷6=334……4

所以青蛙在這2008跳中。回到出發點0處334次，第2008跳所跳到的2008號位置恰好與4號位置重合。