分類思考系統認知構建聯系
——《立體圖形的表面積和體積總復習》教學設計（二）

譚亞鵬

【教學內容】

蘇教版六年級下冊第94、95 頁。

【教學過程】

一、在交流中感知，凸顯知識板塊

師：今天我們將要復習的內容是立體圖形的表面積和體積！老師準備了一些立體圖形，你們看看，都認識嗎？

課件出示圓柱、長方體、正方體、圓錐、球，學生進行辨認。

我覺得___________可以和圓柱歸為一類，我的理由是：___________。

二、在分類中思考，溝通知識體系

師：老師記得有個成語叫“物以類聚”，你覺得哪些立體圖形能和圓柱歸為一類？把你的想法在第一張研究單上寫一寫！

學生獨立完成，教師巡視，并收集交流所需資源。

【設計意圖：以“哪些立體圖形能和圓柱歸為一類？”這個問題作為任務驅動，讓學生從不同角度寫一寫分類的理由，用歸類的方法一類一類地看圖形，可以幫助學生發現和理解圖形的內在聯系。對立體圖形進行整體的類化，整體、系統地感悟知識，形成良好的認知結構。】

●交流一：

呈現如下信息。

師：這兩位同學都認為可以把圓錐、球和圓柱歸為一類，看一看他們的理由，你們能看懂嗎？

引導學生得出：第一位學生是根據圖形的特征把圓柱、圓錐、球歸為一類，第二位學生認為這三個圖形可以由一個平面圖形通過旋轉得到，圓柱可以由一個長方形旋轉而成，圓錐可以由一個直角三角形繞直角邊旋轉而成，球可以由一個半圓旋轉而成。

小結：的確是這樣，圓柱、圓錐、球都可以由一個平面圖形通過旋轉得到。其實如果這里的圓柱和圓錐等底等高，我們可以把它們單獨歸為一類，你知道為什么嗎？

引導學生回答：等底等高的圓錐體積是圓柱的三分之一。

●交流二：

師：這位同學把長方體、正方體和圓柱歸為一類，理由是它們都可以由一個平面圖形平移而成，你們同意嗎？誰來介紹一下？

預設：長方體可以由一個長方形平移而成，正方體可以由一個正方形平移而成，圓柱可以由一個圓平移而成。

小結：是啊，這三個立體圖形都可以通過一個平面圖形平移得到，所以可以歸為一類。

●交流三：

師：這兩位同學也認為長方體、正方體可以和圓柱歸為一類，他們的理由是長方體、正方體和圓柱的體積都可以用底面積乘高來計算。另一位同學認為長方體、正方體和圓柱的側面積都可以用底面周長乘高來計算，你們同意嗎？誰來具體地說一說呢？

預設：把它們的側面沿著高剪開，側面展開圖都是長方形，長方形的長相當于原圖形的底面周長，長方形的寬相當于原圖形的高，長方形的面積=長×寬，所以這些立體圖形的側面積=底面周長×高。

（課件演示轉化過程）

師：長方體、正方體、圓柱的側面積都等于底面周長乘高，有了側面積，要想求它們的表面積的話，我們只要——再加上兩個底面的面積！

（板貼：表面積＝側面積＋底面積×2）

●交流四：

師：剛才這兩位同學是根據表面積或體積的計算方法把長方體、正方體、圓柱歸為一類的，那除了計算方法外，這三個圖形還有什么共同特征呢？

預設：這三個圖形的上下兩個面完全相同，而且上下粗細完全一樣！

小結：像這些直直的，上下兩個面完全相同，而且上下粗細完全一樣的立體圖形，也叫直柱體。

（板書：直柱體）

師：（出示三棱柱的透視圖）這個立體圖形是直柱體嗎？說說你的理由。

根據學生回答小結：直直的，上下兩個面完全相同，上下粗細完全一樣，符合直柱體的特征！它的名字叫三棱柱，也是直柱體。

引發思考：同學們，這三個直柱體的側面積=底面周長×高，體積=底面積×高，那三棱柱的側面積和體積是否也可以用這樣的方法來計算呢？

師：到底是不是這樣呢？我們通過一段微視頻了解一下！

（播放微視頻）

師：看明白了嗎？看來所有的直柱體都可以用這種方法計算體積，用這種方法計算側面積，也能用這樣的方法計算表面積！

【設計意圖：經歷知識點的梳理過程，引導學生用歸類的方法看圖形，幫助學生發現和理解圖形的內在聯系，引導學生打通知識點之間的聯系，對立體圖形的表面積和體積形成系統的認知。】

三、在練習中整理，深化系統認識

1.基礎練習，及時鞏固。

師：（出示下圖）老師想考考大家。這里有兩張完全一樣的長方形鐵皮，把第一張折一折，像這樣圍成一個長方體，把第二張鐵皮卷一卷，像這樣圍成一個圓柱，你覺得圍成的長方體和圓柱，哪一個的側面積大一些？

預設：側面積一樣大，因為它們是由一樣的鐵皮做成的！

師：如果要給這兩個立體圖形做一個底，誰需要的鐵皮多一些？

引導生回答：圓柱需要的多一些，因為這兩個圖形的底面周長相同，周長相同圓的面積最大！

師：做好了底面，我們就可以用來裝水了，那這兩個容器誰裝的水多一些呢？

預設：體積=底面積×高，高相等，圓柱的底面積大，所以圓柱的容積大，能裝的水多！

2.聯系生活，靈活運用。

師：看來同學們已經能融會貫通地解決有關立體圖形的表面積和體積的問題了，學習數學就需要有這樣的能力。其實這部分知識在我們的生活中也有很多應用，我們來看一個生活中的問題。

出示練習：農民張伯伯家種植草莓，根據種植要求，需要用塑料薄膜覆蓋，于是張伯伯買來面積是188.4m2的長方形塑料薄膜，正好直接蓋在已經制成的框架上（如下圖），已知大棚的橫截面是一個半徑3m 的半圓，你能算出大棚內的空間有多大嗎？

師：我們來看一看這位同學的計算方法，他先算出底面周長的一半，也就是長方形薄膜的寬，用薄膜的面積除以寬得到長，就是圓柱的高，接著算出圓柱的體積再除以2，得出大棚的空間。

師：（呈現188.4×3÷2）再來看看這位同學的方法，你有什么想說的嗎？

預設：結果相同，第二位同學的方法更加簡潔，但是看不懂。

師：（出示圓柱——長方體轉化圖）同學們還記得這幅圖嗎？

師：這是推導圓柱體積公式的過程，如果我們把這個面看成長方體的底面，那這個長方體的高在哪里？這個長方體的底面和高分別相當于圓柱的什么？

預設：長方體的底面相當于圓柱側面積的一半，長方體的高相當于圓柱的半徑。

師：長方體的體積=底面積×高，那圓柱的體積就等于——側面積的一半×半徑。

揭示：圓柱的體積＝側面積的一半×半徑。

師：現在再來看看這個問題，塑料薄膜就相當于——側面積的一半。

小結：看來在某些特殊情況下，我們還能用側面積的一半乘半徑來計算圓柱的體積！我們得到了一個新的圓柱的體積計算公式！

【設計意圖：學生利用已有的知識能夠解決問題，但在解決問題時發現過程比較繁瑣，在此時機出示新方法，學生在對新舊方法的對比中感受到新方法的簡潔性，激發了學生對新方法的學習愿望。】

師：（出示下圖）用兩張完全一樣的白紙分別圍成這樣的兩種圓柱，哪個體積大，為什么？（請學生說一說理由）

小結：兩個圓柱的側面積相等，根據“圓柱的體積＝側面積的一半×半徑”這個公式，半徑大的圓柱體積就大，第一個圓柱的半徑大，所以第一個圓柱的體積大！

3.提升練習，拓展延伸。

師：看來同學們已經能靈活運用所學的新知識解決問題了，剛才我們把一張長方形紙卷一卷，做成了一個圓柱，老師這里還有一張三角形的紙，你覺得怎樣才能把它變成一個立體圖形？

預設：旋轉。

（演示繞不同的邊旋轉）

出示練習：將圖中的三角形分別繞著不同的邊旋轉一周，可以得到一個什么立體圖形？猜一猜，得到的立體圖形中，哪一個的體積最大？哪一個的體積最小？再計算加以驗證。

（課件呈現三角形旋轉后的立體圖形）

師：你覺得這三個立體圖形的體積誰最大？誰最小？

【設計意圖：復習課應是學生思維能力提升的最佳機會，此題既是對圓錐體積計算相關知識的復習，又為學生學習提供了一定延展的空間。】

四、在反思中提升，延伸課堂價值

小結：同學們，今天我們一起復習了與立體圖形的表面積和體積相關的知識，其實這部分知識在我們的生活中還有很多應用，希望同學們能用數學的眼光去觀察生活，在生活中學數學，在生活中用數學。