勾連除法 整體架構

賴琪雯

【摘要】“平均分”是小學數學教學中與除法運算、用除法解決問題密切相關的重要概念。教材十分重視平均分物的教學活動對除法概念理解的支持作用。在教學中，教師要注重情境選取、過程經歷和多元表征，進行單元整體設計，幫助兒童建立“平均分”與“除法”之間的聯系。

【關鍵詞】平均分 除法 單元整體 等分 包含

“平均分”是小學數學教學中的一個重要概念，與除法運算、除法問題的解決、分數的認識等內容密切相關。各版本教材都將“平均分”編排在“除法的初步認識”之前，在認識平均分的兩種現實原型（等分、包含）之后引入除法，提出“（平均分的情況）可以用除法表示”。

這樣的設置引發筆者思考：平均分和除法之間有什么關系？為什么除法可以表示平均分？從平均分過渡到除法的認識，兒童理解嗎？在《平均分》的具體教學中，教師可以怎樣為除法意義的認識做鋪墊呢？

一、教材分析與備課思考

縱觀各版本教材，“平均分”這一內容的編排有以下共同點：在情境選取上，采用分水果、分糖果、分圓片等可操作性強的具象情境;在概念引入和下定義時，呈現均分與不均分的情境圖加以對比，并用“每份分得同/一樣多”來定義平均分;在概念理解方面，借助卡通人物的語言、虛線、箭頭等形式凸顯平均分的過程;在處理平均分兩種現實原型時，先呈現“等分”的例子，再呈現“包含”的例子;在引入除法時，結合均分的情境直接呈現除法算式和各部分名稱，提出“（平均分）可以用除法來表示”。

教材雖如此編排，但若實際教學也這樣引入除法，就會讓人感覺中間斷了一截。要想讓平均分與除法的聯系更緊密、過渡更順暢，勢必要先對兩者的本質進行挖掘。關于平均分，它是一個兼具過程和結果的二重性概念，既表述了分的過程——等分或包含，又概括了分的結果——每份分得同樣多。只要是把一個整體平均分成若干相同的部分，這個過程/結果就是平均分。除法，從運算的角度上說，它是減數相同的連減的簡便運算。至此，從“分”和“減”這兩個字眼，我們終于找到了平均分與除法之間的關聯。基于此，筆者進行了整體教學探索與嘗試。

二、整體教學“三步走”思路

第一步：動手操作，思維外顯，初識概念

課時主要目標：結合情境，通過動手操作，經歷分的過程，認識平均分的兩種現實原型，初步理解平均分的含義。

【教學片段一：等分】

師：有一堆蘿卜，要分給3只小兔，每只小兔分到的要一樣多，怎么分？

（學生事先不知道蘿卜的總數量，用小棒代替蘿卜，獨立操作，再展示交流。）

生1每次給每只小兔各分1根（一根一根地分），分了4次;生2兩根兩根地分，分了2次;生3先各分3根，剩下的剛好各分1根，分了2次;生4先數出蘿卜的數量是12根，再想乘法口訣三幾十二，直接給每只小兔分4根，分了1次。

師：你們的方法各不相同，但分的時候卻有一樣的地方。

生：（要么）一根一根，（要么）兩根兩根，（要么）三根三根，沒有一下一根、一下兩根、一下三根的。

師：也就是說，要想每只小兔最后分到的一樣多，就得讓它們每次分到的一樣多。

【教學片段二：包含】

師：有15根骨頭，每只小狗分3根，可以分給幾只小狗？

生：老師，有幾只小狗啊？（學生受“等分”情境的影響，對這種問題的理解需要指導）

（生用小棒代替骨頭，獨立操作，再展示交流）

師：小朋友們的方法都一樣，都是3根3根地拿，怎么不像分蘿卜那樣1根1根、2根2根地分呢？

生：因為每只小狗要3根。

（初步感知兩種分物活動的不同）

【教學片段三：認識平均分】

師：分蘿卜和分骨頭，分的總數不同，兔子、小狗的數量也不同，但有什么相同的地方？

生1：兔子有3只，小狗有3根骨頭，兩個3是相同的。

生2：每只小兔分到4根，每只小狗分到3根，小兔和小兔一樣多，小狗和小狗一樣多。

師：像這樣，每只小兔分到的一樣多，每只小狗分到的一樣多，每份分得一樣多，叫作平均分。

設計意圖：本課時主要通過經歷等分、包含這兩種情況的分物過程，再勾連其相同之處，初步體會平均分的含義。

第二步：多元表征，溝通切換，體會內涵

課時主要目標：在操作的基礎上，通過多元表征方式凸顯分的過程、表達分的結果，深入理解平均分的內涵。

【教學片段一：圖畫表征】

師：上節課，小朋友們通過擺小棒、互相交流，能讓小伙伴清楚自己是怎么分蘿卜的，如果讓你用畫的方式來分，可以嗎？（生自主畫圖）

師：通過圖畫，你能讀懂這些小朋友是怎么分蘿卜的嗎？

（同樣，分骨頭的過程也可以用圖畫來表示。）

【教學片段二：語言表征】

師：回憶分蘿卜、分骨頭的過程，我們分別分什么？怎么分？結果是什么？請你和小朋友們交流這3個問題。

生：分蘿卜，1根1根地分，或2根2根地分，……最后每只小兔分到4根蘿卜。

生：分骨頭，每只小狗分3根，3根3根地拿，最后分給5只小狗。

師引導提煉：

12根蘿卜，平均分給3只小兔，每只小兔分到（4）根。

15根骨頭，每只小狗分3根，可以分給（5）只小狗。

【教學片段三：算式表征】

師：通過動手擺、動筆畫、動口說，小朋友們都把平均分弄清楚了。其實，平均分的過程還可以用算式記錄下來。

等分：每次給每只小兔分1根，每次分掉3根，12-3-3-3-3=0。12連續減去4個3后，沒有剩余。所以，每只小兔分到4根蘿卜。

包含：每只小狗分3根，15-3-3-3-3-3=0。15連續減去5個3后，沒有剩余。所以，可以分給5只小狗。

設計意圖：本課時是在初步認識平均分后，在較熟練操作的基礎上，探索呈現圖畫、語言、算式多元表征，并互相勾連，加深對平均分內涵的認識。其中，圖畫表征是基礎，用語言清晰地表達出圖畫意思是關鍵，而算式是較高層次的抽象概括，能檢驗學生是否理解平均分的內涵。這三種表征方式都能為后面除法的引入做鋪墊。

第三步：增大數目，靈活應用，初步體驗試商過程

課時主要目標：增大總體的數目，通過多次嘗試，能靈活選取每次分的數量，從而減少分的次數，掌握大數目平均分的方法，為今后試商做鋪墊。

【教學片段】

師：50顆糖果平均分給4個人，每人得到幾顆？你是怎么分的？

（生用50根小棒代替糖果實際操作，可能出現不同的分法：1根1根地分、2根2根地分、3根3根地分、5根5根地分、10根10根地分，等等。）

師：當分的物品數量越來越多，再像這樣用小棒操作會怎么樣？

生：麻煩，出錯……

師：你能不能用表格記錄的方式，把每次分給每個小朋友的糖果數量記錄下來？

設計意圖：本課時通過經歷大數目物品的平均分過程，對比不同學生每次分糖的數量、分的總次數，形成方法：第一次要用較大的計數單位，盡可能多分一些，使剩下的盡可能少一些。每次分掉多少、剩下多少，可以用數數的知識或乘、加運算的知識。這其實是試商的過程，意在拓展學生對平均分的認識，靈活應用方法，同時培養數感，為今后除法試商做鋪墊。

三、整體教學過程實施策略

不同教材在編排“平均分”時，都安排了不少于兩課時的內容。在關聯前后、整體教學的過程中，教師應注重以下三條策略，幫助學生深入理解平均分的內涵，并順利過渡到除法意義的認識。

1.注重情境選取，提供具象可操作情境

情境是數學的承重墻，合理恰當的數學情境能為學生提供豐富的學習資源，激發學生的學習興趣。二年級學生心中雖已有了抽象的概念，但其思維仍處于具體運算階段，需要具體事物的支撐。在平均分的概念教學中，教師要注重情境選取，提供具象的、可操作的情境，使情境與數學問題有機整合，從而幫助學生理解概念。例如：教師可以設計動物樂園美食分享會的故事情境，給小狗、小兔、松鼠、小猴等動物提供骨頭、蘿卜、松果、桃子等食物，用連貫的分食物情境串聯一節課，設計多次分物活動。在情境的支撐下，學生能直觀地理解數學問題、明確探究任務，在解決問題時也有話可說、有理可循。

2.注重過程經歷，積累基本活動經驗

動手操作是新課程倡導的重要學習方式之一，是學生建構知識的重要方法，對發展學生的“創新精神和實踐能力”具有重要意義。二年級學生雖然已經有了較強的“平分”意識，在生活中也積累了較豐富的“平分”經驗，但他們大多滿足于追求平分的結果，而對分配過程的關注度不夠、表達還很模糊。上文提到，平均分是一個二重性概念，如果只關注結果，而不充分經歷分配的過程，沒有積累分物的活動經驗，學生就難以建構平均分的意義和概念，也不利于后續將平均分轉化成除法，建立平均分與除法之間的聯結。更有甚者，缺乏對過程的關注還會導致后續遇到大數目物品的平均分時無從下手。因此，教師在教學時應注重過程經歷，幫助學生積累基本活動經驗、探尋平均分的概念本質。

3.注重多元表征，“圖—話—式”多渠道表達

數學概念是生活中事物抽象概括的結果，小學生建構概念離不開多種表征方式的輔助。在平均分的教學中，我們不難發現，學生們都會操作、會分物，也在教師的引導下學會了畫圖表達。但是，有時學生會畫圖，并不代表他能用語言表述。平均分有三要素，即均分主體、均分方法、均分結果，這三要素對應了總數、份數和每份數，也與除法算式中的被除數、除數、商相關聯。因此，在會操作、會畫圖之后，還要引導學生用語言清晰地提煉這三個問題。這樣有助于學生將動手操作、動筆涂畫、動口表達有機結合，將模糊的感知轉化為內部的思維活動。

其次，算式表征是從操作到直觀圖畫，再到清晰的語言之后更高層次的抽象概括。平均分和除法算式的勾連在于，分物的過程是從總體里去掉部分的過程，也就是做減法;而除法是減數相同的連減的簡便運算。因此，在平均分概念的建構過程中，算式表征十分重要，有助于學生從平均分轉化到除法，從而輔助理解除法運算的意義。