例談“最近發(fā)展區(qū)”理論在高中數(shù)列教學(xué)中的應(yīng)用

金紅兵

[摘? 要] 最近發(fā)展區(qū)是學(xué)生的現(xiàn)實(shí)發(fā)展水平與潛在發(fā)展水平之間的差距. 在高中數(shù)列教學(xué)中應(yīng)用最近發(fā)展區(qū)理論要求教師能夠找準(zhǔn)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，能夠重視最近發(fā)展區(qū)的因人而異，能夠明晰最近發(fā)展區(qū)的動(dòng)態(tài)發(fā)展，要始終在學(xué)生不斷發(fā)展變化的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)進(jìn)行教學(xué).

[關(guān)鍵詞] 最近發(fā)展區(qū);數(shù)列教學(xué);動(dòng)態(tài)發(fā)展

數(shù)列是刻畫(huà)離散現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，是將連續(xù)問(wèn)題離散化的數(shù)學(xué)工具. 數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中有著舉足輕重的地位. 它既具有相對(duì)其他內(nèi)容的獨(dú)立性，又具有一定的綜合性和靈活性，同時(shí)數(shù)列還是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)銜接的最緊密內(nèi)容之一，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ). 在高考中，數(shù)列也是壓軸題的常客. 數(shù)列的重要性不言而喻，在實(shí)際教學(xué)中教師通常都會(huì)花很大的精力去講解、去訓(xùn)練學(xué)生解決數(shù)列問(wèn)題的能力，但是往往事倍功半，得不到應(yīng)有的效果. 為有效提高數(shù)列教學(xué)，教師必須改進(jìn)教學(xué)理念，豐富教學(xué)手段. 而將最近發(fā)展區(qū)理論應(yīng)用到高中數(shù)列教學(xué)中去，不失為一個(gè)好的教學(xué)策略.

數(shù)列教學(xué)中找準(zhǔn)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)

蘇聯(lián)著名心理學(xué)家維果茨基認(rèn)為，要正確確定教學(xué)與發(fā)展的關(guān)系，則必須確定兒童的兩種發(fā)展水平——“現(xiàn)實(shí)發(fā)展水平”（兒童獨(dú)立解決問(wèn)題的能力水平）與“潛在發(fā)展水平”（兒童在成人或有能力同伴幫助下解決問(wèn)題的能力水平），而兩種水平之間的差距就是“最近發(fā)展區(qū)”. 最近發(fā)展區(qū)可以直觀形象地如圖1所示：

數(shù)列教學(xué)中重視最近發(fā)展區(qū)的因人而異

由于不同學(xué)生的現(xiàn)實(shí)發(fā)展水平一般不同，有的甚至差異很大;即便是現(xiàn)實(shí)發(fā)展水平差不多的學(xué)生，經(jīng)過(guò)同樣的外部刺激，他們的潛在發(fā)展水平也未必完全一樣. 因此，最近發(fā)展區(qū)是因人而異的. 教師在數(shù)列教學(xué)過(guò)程中要盡可能因材施教，宏觀調(diào)控，針對(duì)不同的學(xué)生提供相應(yīng)通過(guò)最近發(fā)展區(qū)的途徑，爭(zhēng)取讓每個(gè)學(xué)生都能通過(guò)自己的最近發(fā)展區(qū).

途徑一采用的是直接法（基本量法）證明，而途徑二采用的是等比數(shù)列求和公式的變形，即運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的一般形式求證. 上題中教師和學(xué)生都不太會(huì)選擇途徑二，拿到題目的第一反應(yīng)是選擇途徑一，直接運(yùn)用公式轉(zhuǎn)化成基本量來(lái)證明. 因?yàn)榈缺葦?shù)列前n項(xiàng)和的原始公式以及等差中項(xiàng)大家是熟悉的，而途徑二涉及對(duì)公式的變形使用，顯然需要一定的運(yùn)算基本功，對(duì)公式要能夠靈活運(yùn)用. 選擇途徑一的學(xué)生能夠熟練運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，能夠加深對(duì)有關(guān)公式的理解與應(yīng)用，從而有利于提高數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力;而選擇途徑二的學(xué)生則能夠進(jìn)一步理解等比數(shù)列的本質(zhì)，提高邏輯思維和形式運(yùn)演能力.

數(shù)列教學(xué)中明晰最近發(fā)展區(qū)的動(dòng)態(tài)發(fā)展

最近發(fā)展區(qū)又是一個(gè)動(dòng)態(tài)的、不斷發(fā)展變化的過(guò)程性區(qū)域. 維果茨基認(rèn)為，兒童今天不能獨(dú)立完成的事，往往可能在成人或有能力同伴的幫助下完成;兒童今天只能依靠別人幫助完成的事，明天他就能獨(dú)立完成. 兒童的文化發(fā)展機(jī)制總體上表現(xiàn)為從“潛在發(fā)展水平”向“新的現(xiàn)實(shí)發(fā)展水平”的轉(zhuǎn)化. “最近發(fā)展區(qū)”是隨學(xué)生個(gè)體認(rèn)識(shí)水平的不同而在不停發(fā)展變化的，而不是靜態(tài)的. 這是因?yàn)殡S著學(xué)生的學(xué)習(xí)與發(fā)展，他們的現(xiàn)實(shí)發(fā)展水平和潛在發(fā)展水平不是一成不變的，而是在不停地發(fā)展變化，是一個(gè)動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程. 教師合理的教學(xué)設(shè)計(jì)，在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)內(nèi)加以引導(dǎo)，可成功地促使學(xué)生的潛在發(fā)展水平轉(zhuǎn)變成新的現(xiàn)實(shí)發(fā)展水平，從而通過(guò)了最近發(fā)展區(qū)，但在新的現(xiàn)實(shí)發(fā)展水平的基礎(chǔ)上又產(chǎn)生了新的潛在發(fā)展水平，從而形成新的最近發(fā)展區(qū). 于是，教師又在新的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)進(jìn)行教學(xué)……這樣如此不斷地循環(huán)反復(fù)，其過(guò)程可形象地如圖2所示：

例3：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo).

說(shuō)明：等差數(shù)列是最基本、最重要的數(shù)列之一. 按照新課標(biāo)的要求，等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)是需要學(xué)生掌握的. 教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)推導(dǎo)求和公式，在推導(dǎo)過(guò)程中體會(huì)其所包含的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，因而設(shè)計(jì)公式的推導(dǎo)過(guò)程顯得尤為重要. 在教學(xué)中，學(xué)生能夠根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，利用首尾配對(duì)方法計(jì)算項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列的和，也能運(yùn)用分類(lèi)討論思想計(jì)算項(xiàng)數(shù)不確定的等差數(shù)列的和. 學(xué)生需要跨越的一個(gè)最重要的最近發(fā)展區(qū)是：為避免對(duì)項(xiàng)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，由首尾配對(duì)的求和方法過(guò)渡到倒序求和法. 具體最近發(fā)展區(qū)的確定和創(chuàng)設(shè)過(guò)程如圖3所示：

教學(xué)過(guò)程：

問(wèn)題1：計(jì)算1+2+3+…+100.

學(xué)生很快做出回答：1+100=101，2+99=101，3+98=101，…，共有50個(gè)101，所以答案是5050.

教師：以上計(jì)算運(yùn)用的是什么方法呢？

學(xué)生：利用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行首尾配對(duì)求和.

此時(shí)學(xué)生順利通過(guò)了圖3中的第一級(jí)最近發(fā)展區(qū).

問(wèn)題2：計(jì)算1+3+5+7+…+101.

教師：此題是否可用首尾配對(duì)法呢？

學(xué)生經(jīng)過(guò)探討做出回答：可以使用首尾配對(duì)法，但會(huì)多出中間項(xiàng)51，1+101=102，3+99=102，5+97=102，…，共25個(gè)102再加51，所以答案是2601.

由問(wèn)題1到問(wèn)題2，學(xué)生通過(guò)了圖3中的第二級(jí)最近發(fā)展區(qū).

問(wèn)題3：計(jì)算1+2+3+…+n.

教師：此題又可否用首尾配對(duì)法呢？

學(xué)生有的說(shuō)可以，有的說(shuō)不能，經(jīng)過(guò)學(xué)生的探討交流，教師的適當(dāng)點(diǎn)撥，得出一個(gè)有效可行的方法：需要分項(xiàng)數(shù)n為奇數(shù)和偶數(shù)討論，結(jié)合首尾配對(duì)法求和.

教師請(qǐng)學(xué)生上黑板扮演如下：

此時(shí)，學(xué)生已經(jīng)通過(guò)圖3中的第三級(jí)最近發(fā)展區(qū).

教師：?jiǎn)栴}3有沒(méi)有更簡(jiǎn)單的作法，可不可以避免對(duì)項(xiàng)數(shù)n分類(lèi)討論呢？

此時(shí)，學(xué)生進(jìn)入了圖3中的第四級(jí)最近發(fā)展區(qū)，教師在第四級(jí)最近發(fā)展區(qū)內(nèi)教學(xué)，經(jīng)過(guò)師生探討交流，得出了以下解法：

綜上所述，在高中數(shù)列教學(xué)中靈活應(yīng)用最近發(fā)展區(qū)理論，始終在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)進(jìn)行教學(xué)，不僅可以有效提高數(shù)列的教學(xué)質(zhì)量，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，而且也可以為高中數(shù)學(xué)的其他模塊乃至其他學(xué)科的教學(xué)提供一定的參考價(jià)值，在新一輪課程改革和新高考中先拔頭籌.