基于直觀想象視角下的一道高考試題賞析

原坤 劉豹

[摘? 要] 從直觀想象的角度出發(fā)，分析2018年數(shù)學(xué)高考天津卷理科第8題所考查的數(shù)學(xué)思想（其中考查的最主要的數(shù)學(xué)基本思想方法是“數(shù)形結(jié)合”），從而為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)提供可靠的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 直觀想象;數(shù)形結(jié)合;思想方法

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中指出：“直觀想象是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).”直觀想象不是對直觀和想象做加法，而是二者的合理融合. 直觀想象主要表現(xiàn)為三個(gè)方面：借助圖形描述問題情境，通過數(shù)形結(jié)合搭建形與數(shù)的橋梁，基于圖形理解凸顯幾何直觀.

思路展示

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚對數(shù)與形的關(guān)系有如下生動(dòng)的描述：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微.” 借助圖形可以打通代數(shù)的任督二脈，使問題的解決思路很快地顯現(xiàn)出來，有利于揭示問題的本質(zhì)，從而提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).由于本題中出現(xiàn)了垂直關(guān)系，故可以建立直角坐標(biāo)系，將圖形語言“符號化”，然后借助函數(shù)的知識解決問題.

視角二：借助圖形理解，頓生直觀洞察

幾何圖形包括函數(shù)的圖像及其變換、向量的幾何意義及其運(yùn)算等. 平面向量集“幾何”與“代數(shù)”于一身，而幾何屬性是其本質(zhì)屬性. 研究向量的運(yùn)算問題就是研究其幾何圖形的問題. 我們抓住了向量的幾何背景就相當(dāng)于抓住了向量的本質(zhì). 因此，研究向量的幾何運(yùn)行算，是直覺產(chǎn)生的源泉，也是頓生直觀洞察的媒介.

視角三：借助幾何模型，發(fā)展空間想象

通過對平面向量的幾何表象進(jìn)行運(yùn)算、轉(zhuǎn)換，構(gòu)建新的幾何圖形，利用向量等式的處理策略得到”極化恒等式”這一處理向量數(shù)量積的模型，從而發(fā)展學(xué)生的空間想象.

直觀想象只是六大核心素養(yǎng)之一，而且它們之間不是孤立的，是相互滲透的，在發(fā)展直觀素養(yǎng)的同時(shí)，可以通過類比進(jìn)行一些變式發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力.

直觀想象的培養(yǎng)可以提高學(xué)生數(shù)形結(jié)合、幾何直觀、空間想象能力;借助直觀想象可以降低解決問題的門檻，使抽象的問題顯性化、復(fù)雜的問題簡單化，有助于學(xué)生理清邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的思路，把握問題的本質(zhì). 總之，直觀想象素養(yǎng)的養(yǎng)成絕非一朝一夕之功，而是在課堂內(nèi)外長期堅(jiān)持、用心呵護(hù).