解幾未必難 難在覓佳徑

張志華 武曉

[摘? 要] 解析幾何是高考的難點和熱點，學生對解析幾何望而生畏，覺得“解幾難，難于上青天”. 那么，解析幾何真是那么遙不可及了嗎？文章借助一道范例，多角度審視，給出了克服解析幾何的“四大法寶”：一是“萬變不離宗”，二是“乾坤大挪移”，三是“胸中有丘壑”，四是“一覽眾山小”.只要掌握好了這四招，解析幾何的問題也變得溫馴且可控了，真乃“解幾未必難，難在覓佳徑”.

[關鍵詞] 三點共線;多維度審視;“四大法寶”

很多學生對解析幾何望而生畏，覺得“解幾難，難于上青天”，但解析幾何又是高考的難點和熱點，所以要必須設法突破.在日常教學中應堅持“學生的精彩才是教師的出彩”的原則，鍛煉和啟發學生的思維，提升學生對問題本質的探究能力，培養學生對復雜問題的鉆研精神，使學生在問題的發現、提出、分析、假設、優化、解決、推廣、總結等過程中不斷提升自身數學學科素養. 只有學生的思維水平和核心素養提高了，問題才能得到根本的突破.那么，解析幾何真是那么遙不可及了嗎？下面借助一道解析幾何問題的范例，筆者從多個角度進行審視，以期對大家提供一定的啟示.

評注：此解法由學生給出，思路是利用三點共線的向量形式，轉化為“系數和為1”的結論，從而得到λ，μ的整體和. 看似簡潔明了，似是而非，實則蘊含了一個基本的邏輯錯誤，三點共線的系數和為1的結論是由平面向量基本定理導出的，而平面向量基本定理的前提是要選擇一組基底（要求兩向量不共線），而這里的“P，N，E，M四點共線”，不存在充當基底的基向量，所以這種解法是有問題的. 但也正好澄清了一個結論：“三點共線”是“系數和為1”的必要不充分條件，使我們能夠更加深刻理解平面向量基本定理的本質.

5. 問渠那得清如許？為有源頭活水來

評注：調和點列是數學競賽中的內容，教師應當根據學生情況適度介紹. 作為教師還是應該遵循“一桶水和一瓢水”的原則，數學基本功扎實，這樣才能具備“千里眼順風耳”的功力.

教學啟發

通過對這道三點共線模型的解析幾何問題的深入研究，給我們頗多啟發.要真正解決好解析幾何問題，必須要手握“四大法寶”：一是“萬變不離宗”，解析幾何的本質依然是幾何，平面圖形的一些性質要用好，這樣才能做到事半功倍;二是“乾坤大挪移”，不要蠻干苦算，要學會轉化與化歸，將復雜的等價轉化為算法更優化的、程序化的熟悉問題;三是“胸中有丘壑”，樹立戰勝解析幾何的信心，熟練字符化簡的技巧，歸納解幾問題的模型;四是“一覽眾山小”，要徹底洞察問題的本質，必須具備深厚的數學功底，要有“清澈的源頭”，才能做到高屋建瓴，一語中的.只要掌握好了這四招，解析幾何的問題也變得溫馴且可控了，真乃“解幾未必難，難在覓捷徑”.

課后練習

以下是一道高考真題，請讀者下來利用本文中的“四大法寶”，仔細揣摩，作為練習，“熟能生巧是良訓，一分辛勞一分才”.