基于數(shù)學核心素養(yǎng)的解析幾何復習課

葉欣

[摘? 要] 數(shù)學核心素養(yǎng)既有獨立性，又相互交融，形成一個有機整體. 高三復習課要通過設計合理問題，讓學生在經(jīng)歷數(shù)學活動過程中，掌握知識、技能，感悟數(shù)學基本思想，積累數(shù)學思維和實踐的經(jīng)驗，促使學生形成和發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).

[關鍵詞] 數(shù)學核心素養(yǎng);解析幾何;復習課

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》中提出：“數(shù)學學科核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學基本特征的思維品質(zhì)、關鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學學習和應用的過程中逐步形成和發(fā)展的. 數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析.”數(shù)學核心素養(yǎng)既有獨立性，又相互交融，形成一個有機整體. 在高三復習課中如何落實數(shù)學核心素養(yǎng)？筆者認為數(shù)學核心素養(yǎng)是悟出來的不是教出來的，因此教學中要以“四基”為載體，把握數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)，通過提出合理的問題，啟發(fā)學生獨立思考，鼓勵學生與他人交流（自己“悟”），讓學生在經(jīng)歷數(shù)學活動過程中，掌握知識、技能，感悟知識所蘊含的數(shù)學基本思想，積累數(shù)學思維和實踐的經(jīng)驗，在這個基礎上促使學生形成和發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng). 實際上就是養(yǎng)成一種習慣、一種思維方式. 本文中筆者以高三解析幾何的復習為例談談筆者對在復習課中發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的思考.

問題的提出

解析幾何的教學內(nèi)容、知識內(nèi)容豐富，其中蘊含著豐富的數(shù)學思想方法，是培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力，發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要載體，同時也是學生在學習過程中感到十分困難不易把握的內(nèi)容. 在對學生訪談的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)學生普遍認為解析幾何就是大量煩瑣的計算，由此可見經(jīng)過高二年級的學習，學生并沒有認清解析幾何的本質(zhì)，說明我們的教學還不到位. 實際上，解析幾何研究的是幾何問題，是用代數(shù)方法研究幾何圖形的幾何性質(zhì). 教師在教學中有義務讓學生經(jīng)歷一個清晰的研究過程，感受解析幾何的本質(zhì)：要解決怎樣的幾何問題——結(jié)合條件及圖形分析幾何對象的幾何特征——將幾何特征代數(shù)化（用代數(shù)語言描述幾何要素及其關系）——通過運算解決代數(shù)問題——分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義——最終解決幾何問題. 為實現(xiàn)這一教學目標，筆者對解析幾何的復習內(nèi)容進行了系列設計，在整理知識的過程中，讓學生從知識、思想、方法等層面進行認識;在解決問題的過程中，采用“以‘形定向，以‘數(shù)定論”的教學策略.

整體把握教學內(nèi)容，架構知識體系

學生經(jīng)過高一、高二的學習后，進入高三年級時很多基本知識已經(jīng)淡忘了，因此重新梳理知識是高三復習必須要做的一件事.以什么樣的方式完成這件事？常見的方式有：教師在課上一條條羅列知識，讓學生自己看書回顧知識，先進行課堂前測再針對學生的薄弱點有重點的梳理知識……筆者在多年的高三教學中，這些方式都嘗試過，但總感覺效果不明顯.究其原因，筆者認為學生在學習新知識的時候是一個點一個點進行學習的，高三復習如果仍是以點呈現(xiàn)，這些知識在學生頭腦中仍是散點，復習時想起來了，過后就又忘了.高三復習絕不能是知識的簡單重復，要引領學生建構知識、思想、方法的網(wǎng)絡，讓學生能站在高處俯瞰高中學習內(nèi)容的體系.因此筆者在高三復習時采用了以思維導圖統(tǒng)領全局，以閱讀自學細化知識的方式引領學生梳理知識.

？搖在梳理整個解析幾何專題知識時，首先引領學生建構整體框架，從研究對象、研究方法、研究本質(zhì)、研究核心等方面讓學生在整體上對將要復習的解析幾何有整體把握.在這樣一幅統(tǒng)領全局的思維導圖引領下（如圖1），再進入具體知識的復習，細化其中的內(nèi)容，同時每一個章節(jié)的內(nèi)容都力爭讓學生以思維導圖的方式呈現(xiàn).這樣的方式讓學生頭腦中的“散點圖”串起來，讓學生頭腦中模糊不清的知識建立起相關的聯(lián)系. 在這個過程中，發(fā)展學生數(shù)學抽象素養(yǎng).

？搖在梳理具體知識時，盡量建立知識間的聯(lián)系. 比如橢圓和雙曲線有很多類似之處，一方面，從知識結(jié)構上非常類似，它們都是通過分析幾何條件得到相關定義，再依據(jù)定義在平面直角坐標系中將幾何條件代數(shù)化得到標準方程，進而利用定義研究其幾何性質(zhì);另一方面，依據(jù)定義、標準方程和幾何性質(zhì)解決的問題和解決問題的基本方法也比較相似. 學生在學習新課的時候就經(jīng)常把它們弄混，在高三復習中，筆者嘗試將二者放在一起采用類比的方法進行復習（如圖2），通過不斷比較它們基本知識的相同與不同之處，不斷比較解決的問題及基本方法的異同，讓學生在類比中將二者分辨清楚，更加深入理解這兩種圓錐曲線.

以“形”定向，以“數(shù)”定論

在有關“直線與圓的位置關系”“圓錐曲線的幾何性質(zhì)”“直線與圓錐曲線位置關系”幾個重點內(nèi)容復習的過程中，均采用“以‘形定向，以‘數(shù)定論”的教學策略，即通過對幾何對象的分析，實現(xiàn)對問題的不斷轉(zhuǎn)化，確定解題方向，將幾何問題代數(shù)化，通過代數(shù)計算得到最終結(jié)論. 在“以‘形定向”的過程中，重點發(fā)展學生直觀想象、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng);在“以‘數(shù)定論” 的過程中，重點發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng). 通過對典型題目的分析、討論，讓學生掌握基礎知識、基本技能，感悟基本思想，積累基本活動經(jīng)驗，在不斷解決問題的過程中，建構于反思，發(fā)展學生的數(shù)學思維能力.

1. 直線與圓的位置關系復習突出幾何法

在直線與圓的教學單元，重點內(nèi)容就是直線與圓的位置關系，解決問題的方法是幾何法和代數(shù)法，幾何法突出的是數(shù)形結(jié)合思想的運用，代數(shù)法則突出代數(shù)運算，從培養(yǎng)學生思維的角度而言，此處的教學重點放在幾何法. 從知識梳理部分入手，以圖形的方式加以呈現(xiàn)，分析圖中的幾何對象的幾何特征，梳理幾何法. 然后精選例題，引導學生通過對圖形的分析，尋找圖形的幾何特征或是圖形間的位置關系，進而轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題通過代數(shù)運算解決問題，這也正是解析幾何的本質(zhì)所在.

通過對這類問題的分析，重點在于對圖形中幾何對象的幾何特征的分析，并將幾何特征代數(shù)化，由此最終解決問題，這個過程中對幾何對象的幾何特征的分析同時發(fā)展了學生的直觀想象、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)，將幾何特征代數(shù)化，并最終解決問題著重發(fā)展了學生的數(shù)學抽象、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng).

2. 橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)突出幾何直觀

在復習有關離心率的內(nèi)容時，首先引導學生回顧離心率的定義和其幾何意義，同時明確求解離心率關鍵是找到等量關系，可以充分利用已知條件挖掘題目信息，借助圖形的直觀性，由平面幾何的知識尋求等量關系，即根據(jù)題設條件關系式，借助a，b，c之間的關系，轉(zhuǎn)化a，c的關系（特別是齊二次式），進而得到關于e的方程，從而解方程得出離心率e. 在教學中安排了以下系列問題引領學生不斷深入分析理解：

本題從幾何角度分析圖形特征，可以利用等邊三角形中點的性質(zhì)，構造直角三角形直接求解;也可以利用等邊三角形邊角的性質(zhì)或者等邊三角形中位線的性質(zhì)，得出點B的坐標，再利用橢圓方程得到關于e的方程求解;也可以利用等邊三角形中點的性質(zhì)及圓的相關知識，將點B看作是以（0，0）為圓心，以c為半徑的圓與該橢圓的交點，進而得到關于e的方程求解.以上各種方法都建立在對于圖形幾何性質(zhì)的分析，對于幾何條件分析越透徹解法越簡單，充分體現(xiàn)了“以‘形定向，以‘數(shù)定論”.

在對本題的深入分析的基礎上，安排如下三個變式，讓學生在運動變化中或圖形載體變化后，進一步感受“以‘形定向，以‘數(shù)定論”.

為突破教學難點，提升學生的思維能力，教學中始終堅持“以‘形定向，以‘數(shù)定論”的教學策略，強化圖形意識，抓住幾何對象的幾何特征，并將其代數(shù)化，通過代數(shù)計算解決問題. 通過巧妙利用圖形特征，優(yōu)化解題過程，力爭減少計算量.

3. 直線與圓錐曲線位置關系突出數(shù)學思想方法的運用

直線與圓錐曲線的位置關系是解析幾何內(nèi)容的重頭戲，在長期教學實踐中，發(fā)現(xiàn)由于學生不理解解析幾何的本質(zhì)，只是按照套路做題，有些學生甚至連圖都不畫，上來就是設直線方程與圓錐曲線聯(lián)立，消元得到一元二次方程后，利用“韋達定理”列出根與系數(shù)的關系，然后再尋找有用條件進行分析，遇到稍微復雜的題目就只能碰運氣. 高三的復習需要改變這種現(xiàn)狀. 在這部分復習時，仍堅持“以‘形定向，以‘數(shù)定論”的教學策略，通過精選例題，并對題目的解題過程進行拆解，分項攻破各難點. 第一步，通過引導學生對典型題目的條件、對圖形中幾何對象的幾何特征進行分析，合理設計解題思路，讓學生在這個過程中體會數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，發(fā)展學生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng);第二步，依據(jù)解題思路選擇恰當?shù)姆椒ㄟM行代數(shù)運算，讓學生在這個過程中體會分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸思想，提升學生數(shù)學運算能力，發(fā)展數(shù)學運算和邏輯推理素養(yǎng);第三步，讓學生對解決的典型問題進行反思總結(jié)，通過對數(shù)學方法、數(shù)學思想的回顧總結(jié)提高學生整體認識. 在這一系列過程中，讓學生真正經(jīng)歷解決解析幾何問題的一般過程：要解決怎樣的幾何問題——結(jié)合條件及圖形分析幾何對象的幾何特征——將幾何特征代數(shù)化（用代數(shù)語言描述幾何要素及其關系）——通過運算解決代數(shù)問題——分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義——最終解決幾何問題.

例如，筆者在教學中設計如下問題，幫助學生理解解析幾何的本質(zhì)和核心思想.

本問題的難點在于如何處理各問中的幾何條件，要突破難點就要依據(jù)圖形精準分析幾何對象的幾何特征，合理將問題進行轉(zhuǎn)化.

第一問，轉(zhuǎn)化策略是利用菱形的定義、中垂線的定義及判定：以CA，CB為鄰邊的平行四邊形是菱形？圯CA=CB？圯C在線段AB的中垂線上？圯CD⊥AB（點D是線段AB的中點），由此可以設直線AB的方程與橢圓的方程聯(lián)立得中點D的坐標，進而利用斜率乘積為-1建立關于k（直線AB的斜率）的方程的解題策略.

第三問，涉及兩個三角形的面積，如何求三角形面積是本題的突破口：以OM為底，面積比可以轉(zhuǎn)化為點A，B的縱坐標的比;以AM，BM為底，利用三角形相似可以轉(zhuǎn)化為點A，B的橫坐標或者縱坐標的比. 由此可以確定與第二問相同的解題策略.

第四問，轉(zhuǎn)化策略是利用等腰三角形的性質(zhì)，將PM平分∠APB轉(zhuǎn)化為直線AP的斜率與直線BP的斜率互為相反數(shù). 由此可以確定設直線AB的方程與橢圓聯(lián)立，利用韋達定理與由條件轉(zhuǎn)化而得的等式建立關于k（直線l的斜率）的方程的解題策略.

本問題以橢圓為載體，不斷將圖形和條件進行變化，引領學生通過依據(jù)圖形，對其中的幾何對象的幾何特征不斷分析和轉(zhuǎn)化，最終形成清晰的解題策略，而后再由學生進行實際運算操作，通過代數(shù)計算解決問題，題目完成后對解決問題的反思是必需的，經(jīng)過反思對解決問題的基本思想方法有明確認知.

解析幾何復習課中落實數(shù)學核心素養(yǎng)

以發(fā)展學生數(shù)學思維能力，落實數(shù)學核心素養(yǎng)為目標的高三解析幾何復習課的整體架構，就是從知識的整體架構開始，讓學生從研究對象、基本思想和方法到解析幾何的本質(zhì)形成立體認知;進而細化到各知識點和思維方法，讓學生在整體架構的基礎上對知識本身和其應用方法有明確認知;最終在知識的應用過程中，始終堅持解析幾何的本質(zhì)，讓學生經(jīng)歷解決問題的基本過程，在各環(huán)節(jié)中著力發(fā)展學生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學抽象、數(shù)學運算等數(shù)學素養(yǎng)，幫助學生深刻感知解析幾何本質(zhì)，養(yǎng)成一般性思考問題的習慣，能用數(shù)學思維思考問題，用數(shù)學語言進行表達.