對(duì)一道函數(shù)最值問題的多解探析

范銫

[摘? 要] 函數(shù)最值問題具有代數(shù)和幾何雙重屬性，從不同的角度分析往往可以獲得不同的性質(zhì)條件，針對(duì)不同的視角采用不同的思想方法可以構(gòu)建不同的解題策略，同時(shí)對(duì)同一問題開展多解學(xué)習(xí)可以有效提升解題思維，文章對(duì)一道函數(shù)最值問題進(jìn)行多解探究.

[關(guān)鍵詞] 函數(shù);最值;多解;不等式;配方;性質(zhì)

考題再現(xiàn)

分析：本題目給出了函數(shù)f（x）的解析式，求f（x）的最小值，屬于典型的函數(shù)最值問題，考查的是學(xué)生視角選取、知識(shí)綜合和方法運(yùn)用的能力. 上述函數(shù)中含有正弦函數(shù)，由于其本身周期、值域、定義域的特殊性，解題時(shí)需要充分利用函數(shù)的性質(zhì). 另外，函數(shù)的性質(zhì)介于代數(shù)與幾何兩者之間，具有雙重特性，因此對(duì)于該問題的解法探究可以從不同的視角切入.

多解探究

對(duì)于函數(shù)最值問題的求解，從不同的角度思考，可以將問題向不同的方向轉(zhuǎn)化，利用對(duì)應(yīng)的技巧方法來完成求解，下面將對(duì)本題目進(jìn)行多解剖析.

1. 代數(shù)分析，巧借不等式

函數(shù)最值問題從代數(shù)角度分析可以將其視為一般的不等式問題，即可以利用相關(guān)公式構(gòu)建涉及原函數(shù)的不等式，如對(duì)于求f（x）的最小值可以考慮構(gòu)建不等式f（x）≥a，則a就為f（x）的最小值.

評(píng)析：上述對(duì)于函數(shù)最值問題的求解采用的是構(gòu)建函數(shù)不等式的方式，在求解過程中首先利用公式進(jìn)行了三角變換，然后利用四元均值不等式直接構(gòu)建了不等式方程，最后通過對(duì)不等號(hào)右邊代數(shù)式的分析間接獲得了原函數(shù)的最小值. 整個(gè)解題思路是基于函數(shù)的代數(shù)屬性，利用代數(shù)的等價(jià)轉(zhuǎn)化、恒等變形方法來構(gòu)建最值模型，需要指出的是不能忽略不等式中等號(hào)成立的條件，等號(hào)成立與否直接關(guān)系到最值獲得的有效性.

2. 代數(shù)變形，活用配方

求函數(shù)的最值，同樣參照初中數(shù)學(xué)常用的配方法，通過拼湊的方式將函數(shù)轉(zhuǎn)化為只含有代數(shù)平方和常數(shù)項(xiàng)的形式，則在定義域范圍內(nèi)函數(shù)的最值就與常數(shù)項(xiàng)有關(guān)，對(duì)于原函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x可以轉(zhuǎn)化為含有sinx和cosx的二元函數(shù)，對(duì)其配方可以采用設(shè)主元的方式，將其中一個(gè)視為主元，另一個(gè)視為常數(shù).

評(píng)析：上述采用的是多項(xiàng)式的配方法來構(gòu)建代數(shù)分析模型，利用了實(shí)數(shù)性質(zhì)和不等式性質(zhì)來求解函數(shù)最值. 求解的關(guān)鍵是配方的過程，對(duì)于上述的二元函數(shù)，最為有效的配方方式是主元設(shè)定，需要注意的是選擇不同的主元所獲得的配方過程也不相同，涉及的計(jì)算量也有明顯差異，因此具備一定的“數(shù)感”對(duì)于簡化求解有著重要意義.

3. 幾何轉(zhuǎn)化，圖像研究

從幾何角度分析函數(shù)最值問題，幾何圖像最能直觀反映函數(shù)的某種變化規(guī)律，因此可以考慮將原函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)變形，將其轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的幾何問題，通過對(duì)幾何圖形的特征分析，利用性質(zhì)來直觀求解. 一般函數(shù)問題的幾何變形方式可以采用如下思路：首先對(duì)函數(shù)中的變量進(jìn)行設(shè)定，然后結(jié)合函數(shù)的幾何定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

評(píng)析：將函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為幾何最值問題，利用幾何特征和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)來直接求解對(duì)于提高解題效率有極大的幫助. 數(shù)學(xué)函數(shù)本身就具有幾何與代數(shù)的雙重特性，用直觀的幾何圖像來表征問題可以充分挖掘問題內(nèi)涵. 函數(shù)問題向幾何問題轉(zhuǎn)化一般可以采用如下步驟：賦值變形→圖形繪制→特征分析→幾何求解.

4. 函數(shù)分析，求導(dǎo)取值

從常規(guī)的函數(shù)求值角度來看，求函數(shù)的最小值可以通過構(gòu)建導(dǎo)函數(shù)，通過研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)來確定原函數(shù)的單調(diào)性，然后確定其最小值，需要注意的是由于原函數(shù)涉及了三角函數(shù)，則函數(shù)必為周期性函數(shù)，在分析時(shí)要充分把握其特殊性.

評(píng)析：高中數(shù)學(xué)對(duì)于函數(shù)最值問題，最為常用的解題策略是導(dǎo)函數(shù)分析，上述求解就是基于該策略構(gòu)建的解題思路，即首先構(gòu)建導(dǎo)函數(shù)，求解導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)，然后分析通過導(dǎo)函數(shù)確定原函數(shù)單調(diào)性來完成最值的求解，在解題時(shí)考慮到了原函數(shù)的周期性，從而有效縮短了函數(shù)的研究區(qū)間，該方法技巧對(duì)于函數(shù)的研究有一定的啟示作用.

解后思考

1. 把握函數(shù)本質(zhì)，構(gòu)建知識(shí)體系

上述探討的函數(shù)最值問題具有幾何和代數(shù)的雙重特性，從不同的視角分析可以獲得相應(yīng)的解題思路，從問題本質(zhì)來看是函數(shù)的屬性所造成的，即函數(shù)的性質(zhì)可由幾何與代數(shù)兩方面來表征. 代數(shù)知識(shí)可準(zhǔn)確描述函數(shù)的數(shù)量關(guān)系，而圖像可以直觀呈現(xiàn)其幾何關(guān)系. 函數(shù)問題是眾多知識(shí)的綜合，求解該類問題的基礎(chǔ)是充分理解代數(shù)和幾何的相關(guān)知識(shí)，包括函數(shù)的周期性、值域與定義域的表述、函數(shù)求導(dǎo)、求切點(diǎn)以及單調(diào)性等，這些內(nèi)容雖然在教材中以單章節(jié)呈現(xiàn)，但學(xué)習(xí)時(shí)需要我們?cè)谡莆盏幕A(chǔ)上把握知識(shí)聯(lián)系性，構(gòu)建完整的知識(shí)體系，提升解決綜合問題的能力.

2. 關(guān)注基本方法，重視解題思維

在求解函數(shù)最值問題時(shí)，基于不同的視角采用了不同的方法，包括使用均值不等式、配方法、幾何轉(zhuǎn)化和求導(dǎo)法，這些方法都是代數(shù)與幾何領(lǐng)域較為常見的方法. 本文對(duì)同一問題進(jìn)行了系統(tǒng)呈現(xiàn)，從不同的視角對(duì)問題進(jìn)行剖析，因此掌握基本的解題方法對(duì)于綜合問題的求解有著重要的意義，是解題的前提條件. 另外，方法的采用是在基本的思維框架下開展的，解題的過程實(shí)際上就是思維的形成和發(fā)展過程，是串聯(lián)公式、定理和方法的過程，只有促進(jìn)解題思維的發(fā)展才能從根本上提升數(shù)學(xué)的解題能力，因此在實(shí)際教學(xué)中不僅需要關(guān)注方法的講解，還需要重視學(xué)生思維的發(fā)展.