引導學生探究培養問題意識提高數學素養

1 教學現狀

眾所周知，圓錐曲線是中學數學的重點和難點，在高考中始終占據著重要地位.從學生學習的情況來看，圓錐曲線始終是學生比較‘-怕”的內容;很多高三教師對此也頗感困惑，尤其是到了二輪復習，不斷地“炒冷飯”，課堂效益低下，學習興趣不高，學生參與程度低.總之，學生學的辛苦，教師教的痛苦.

2 應對策略

在教學過程中，通過對典型例題的類比、聯想、引申進行深入研究，順藤摸瓜，把局部的、零散的知識點串成線條，形成知識網絡，融會貫通，在夯實基礎的前提下，引導學生探究問題，培養學生的問題意識，激發學生的思維靈感和創新意識，使知識縱橫交錯、點面呼應，落實“數學核心素養”的培養.

3 教學案例

引導學生以“問題串”的形式進行復習，可以促進學生的深度學習，從而有利于學生獲得清晰的數學知識網絡、系統的數學研究方法，加深對數學的理解，提高學生的數學素養.筆者以二輪復習課為例加以說明，與同行探討、切磋、交流.

3.1 復習知識奠定基礎

已知○Ol：X2+y2=r2，

○O2：（x-a）2+（y-b）2=r2，

○O3：X2+y2+Dx+Ey+F=O.

提問學生：

（l）若點M（xo，Yo）在圓上，過點M的切線方程分別為____？

學生l：xox+YoY=r2;

教師：回答正確.

（2）若點M（xo，Yo）在圓外，過點M引圓的兩條切線，切點分別為M1，M2，則切點弦（兩切點的連線段）所在直線的方程分別為____？

學生2：xox+YoY= r2;

教師：回答得很好.

3.2 類比探究掌握結論

已知橢圓C1：

拋物線C3：y2= 2px.

教師引導學生類比圓的切線得出下列結論（只要求類比，不需證明，因為證明需用到隱函數求導）：

（l）若點M（xo，Yo）分別在曲線Cl，C2，C3上，過點M的切線方程分別為____？

學生3：

.

YoY= p（xo +x）.

（2）若點M（xo，Yo）分別在曲線Cl，C2，C3外，過點M引曲線Cl，C2，C3的兩條切線，切點分別為M1，M2，則切點弦（兩切點的連線段）所在直線的方程分別為____？

學生4：

.

YoY=p（xo+x）.

教師：以上兩位同學回答準確，類比推理掌握得很好. 然后教師引導學生總結一般規律：求在點M（xo，Yo）處的切線方程，只需將曲線方程中的x，y，x2，y2一點M（xo，Yo）分別作曲線的兩條切線MM1，MM2，切點分別為M1，M2.類似地，只需將曲線方程中的求切點弦M1M2所在的直線方程.掌握這個一般結論，可以快速準確地解決有關切點弦的問題.

3.3 應用結論實踐檢驗

相交，過直線l上的點P作橢圓C的切線PM，PN，切點分別為M，N，連接MN.

（l）當點P在直線l上運動時，證明直線MN恒過定點Q;

（2）當MNlll時，定點Q平分線段MN.

解題分析讓學生思考十分鐘后，提問學生，教師適時點拔.

學生5：證明 （l）設P（xo，Yo），

M（x1，Yi），N（X2， y2），

則橢圓過點M，N的切線方程分別為：

因為切線經過點P（xo，Yo），

所以

切點弦MN所在的直線方程為：

根據點P∈l，可得Yo= xo+b，

代入（3）可得

該式對Vxo∈R恒成立.

（2）當MN///時，

直線MN的斜率為：

.

合.故可得定點Q平分線段MN.

此題是2017年全國高中數學聯賽廣東賽區選拔賽的第9題.實際上這道題學生只要會類比圓的切線方程得到橢圓的切線方程就不難了.

實際上2013年廣東高考理科第20題第（Ⅱ）問就曾考查類似問題.題目如下：

例2已知拋物線C的頂點為原點，其焦點F（O，直線/上的點，過點P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點.

（I）求拋物線C的方程;

（Ⅱ）當點P（xo，Yo）為直線/上的定點時，求直線AB的方程;

（Ⅲ）當點P在直線，上移動時，求|AF|·|BF|的最小值.（略）

解題分析易得拋物線c的方程為X2=4y后，學生很快就用剛才的方法求出了直線AB的方程為xox-2y-2Yo=o.此時教師提出還有沒有別的方法？

學生6：采用參數法（斜率K為參數），設過點P作拋物線C的切線方程為y-yo=k（x-xo），聯立拋物線C的方程，但是運算量太大，幾乎算不出.

教師：解題思路雖清晰簡單，但運算量大，且不易消元.

此時學生7：設切點坐標A（xi，y1），B（X2，y2），x≠X2，用卻X2為參數，切線PA的方程為：

即

因為切線PA，PB經過點P（xo，y。），

故直線AB的方程為xox-2y-2y。=o.

教師：回答得非常棒！解題的關鍵在于引入參數x1和x2，采用設而不求，整體消元，得到直線AB的方程，大大簡化了運算.

教師：當點P（x。，y。）為直線|上的動點時，直線AB是否恒過定點？

學生8：只要將Yo= xo-2代入直線AB的方程xox-2y-2Yo=o，得xo（x-2）-2（y-2）=o對Vxo∈R恒成立，則x-2-0且y-2=0，即x=2，y=2，故直線AB恒過定點（2，2）.

教師：早在2005年高考，江西理科壓軸題也曾考查過類似問題（請同學們課后完成）.題目如下：

例3設拋物線C：y=X2的焦點為F，動點P在直線|：x-y-2=0上運動，過點P作拋物線C的兩條切線PA，PB，且與拋物線C分別相切于A，B兩點.

（l）求△APB的重心G的軌跡方程;

（2）求證：∠PFA= ∠PFB.

3.4 變式拓展深入探究

教師：請看2014年高考廣東卷文理第20題：

（l）求橢圓C的標準方程;

（2）若動點P（xo，Yo）為橢圓外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程.

解題分析學生思考十分鐘后提問（當學生卡住時，教師適時點拔）.（過程略）.

（2）設切點分別為A，B，

①當兩條切線中有一條斜率不存在時，則兩切線分別垂直x軸和y軸，兩切點分別為橢圓長軸與短軸的端點，此時點P的坐標為（+3，±2）.

②當兩條切線的斜率都存在時，

設過點P的橢圓切線方程為y-Yo= k（x-xo）.

化簡得（9k2+4）X2+18k（Yo-kxo）xxc+9[（Yo-kxo）2-4]=0，

依題意得△= [18k（yo-kxo）]2-36（9k2+4）[（y。-kxo）2-4]=0，

化簡得（X02-9）k2-2xoY。k+Y02-4=o，

設切線PA，PB的的率分別為k1，k2，

且PA，PB相互垂直，

，

化簡得X02+Y02=13（xo≠+3）.

又因為P（+3，±2）滿足方程X02+y。2 =13，

故點P的軌跡方程為X2+y2=13.

此時教師應該趁熱打鐵地引導學生觀察得到的點P的軌跡方程有何特征？

學生10：由9+4=13，知點P的軌跡是以橢圓P（xo，yo）為橢圓外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，則點P軌跡方程為X2 +y2= a2 +b2，其

教師：這位同學的觀察能力很厲害！這時學生11站起來說：可類比推廣到雙曲線和拋物線中.

Yo）為雙曲線外一點，且點P到雙曲線C的兩條切線相互垂直，則點P軌跡方程為X2 +y2= a2 +b2，其軌

②設拋物線C： y2=2px（p>o），若點P（xo，Yo）

為拋物線外一點，且點P到拋物線C的兩條切線相互垂直，則點P的軌跡是以拋物線的頂點為圓心，

學生Il話未落音，學生12指出①的錯誤之處.答案應該是：當a2-b2 >0時，點P的軌跡方程為X2+y2為半徑的圓;當a2-b2=0時，點P的軌跡是一個點（o，o）;當a2-b2<0時，點P的軌跡不存在.

教師：類比推理的結論不一定正確，需要進行推理論證.此時學生13也發現了②的錯誤.點P的

教師：兩位同學的回答很精準.詳細的推理過程留給同學們課后作為作業完成.同學們，剛才探究的問題實際上是蒙日圓問題，即在橢圓中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是橢圓中心，半徑等于長半軸與短半軸平方和的算術平方根，這個圓叫蒙日圓.有興趣的同學可以在課后上網查資料了解有關蒙日圓問題.

4 反思感悟

4.1 關注知識方法，豐富聯系有收獲

教師系統地把握教材，理解學生，注重聯系，在教學設計時關注知識和方法，對知識和方法進行再建構、再完善，選擇一些切口小、角度新、針對性強的問題，引導學生開展一系列的探究活動，區別于高三一輪復習，豐富知識和方法間的聯系.這樣不但教學內容新穎有趣，而且對于學生開拓視野、培養問題意識、提高數學核心素養，都具有提綱挈領的重要作用.

4.2 關注不同層次學生，深度學習成效高

傳統的高三二輪復習模式課型設計簡單，教師講得辛苦，學生聽得疲勞，忽視了學生的主動性和積極性，課堂效益不高，效果又不好.二輪專題復習課一定要善“變”，不斷吸引學生的眼球，換個角度，變個形式，讓不同層次的學生都有收獲，對數學課有期待.只有學生喜歡數學課才有可能深度參與、深度思考、深度學習，課堂才更有生機和活力.

總之，高三二輪專題復習課的設計和教學實施，既要講究課堂教學的效率，又要兼顧學生的思維發展.需要設計豐富新穎的教學活動，通過學生經歷的探究活動過程獲得感受、體驗、領悟并由此獲得數學知識、方法和情感態度與價值觀.教師合理設定專題，恰當選擇學習策略，充分發揮學生的主體作用，為學生營造獨立思考、自主探究、勇于創新的良好環境，提高學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，從而達到提高高三復習效率，提升學生數學素養的目的.

參考文獻

[1]江中偉.巧用變式教學提高教學效率[J].中學數學教學參考，2011（1—2下）：86-87

[2]江中偉，創設系列問題優化思維品質[J].師道：教研，2011（7）：135

（本文為廣東省梅州市教育教學研究重點課題《高中數學課堂教學中學生問題意識培養的研究》（課題編號M20901-DBX201）成果之一）