淺析高中數學中橢圓問題的解題策略

周巧

【摘 要】橢圓作為圓錐曲線章節中的一個知識點，是高中數學知識中的重難點，也是高考時必考題目，并且所占分值較大。但是本節知識點題型靈活多變，計算量甚大，是高考綜合計算題的必考題目。所以橢圓知識的學習，不僅能夠提高數學成績，還可以幫助高中生培養數學思維。本文將對高中數學中橢圓的解題方法進行探究。

【關鍵詞】高中；數學；橢圓；解題方法

一、引言

橢圓問題作為高中數學知識的重難點內容，我們在平時的學習過程中需要多加用心，而且橢圓知識經常與其他數學知識相結合考察，所以我們在做練習題目的時候經常會利用橢圓知識來解決一些重要的數學問題。由于橢圓考法靈活多變，題型復雜，所以高中生必須要熟練掌握基礎知識，針對不同類型的橢圓題型，從不同角度入手，采取多種解題方法解決此類問題。

二、高中數學橢圓題型的解題方法

（一）使用待定系數法確定橢圓方程

例題1：已知橢圓的中心為原點，橢圓同時經過兩點，分別為m（6，1），n（3，2），請寫出橢圓方程。分析題目：我們在做題的時候，第一步是讀題，再從題目中提取有用信息，之后根據之前做題的經驗判斷出本題的解題切入角度，最后在開始解題。本例題就可以將橢圓方程設為ax2+by2=1（a>0，b>0，且a≠b）。解題步驟為：因為橢圓過m、n兩點，所以a、b兩點在橢圓上，坐標適合于橢圓方程。那么36a+b=1 （1），9a+4b=1 （2），將（1）（2）兩式聯立，最后得出a=1/45，b=1/5.所以橢圓方程為x2/45+y2/5=1.此類橢圓題目就可以根據題目信息，使用待定系數法求出橢圓方程，換言之，就是通過對a和b求解，再將橢圓方程寫出來。第一步是確定題型，再選用合適的方法，最后計算。但是利用待定系數法解決題目的時候，需要根據具體題型寫出最方便解題的橢圓方程，比如將橢圓方程寫作ax2+by2=1（a>0，b>0，且m≠n），在將題目中給定的數據帶入計算出a和b的數值，也就寫出橢圓方程了。

（二）根據橢圓定義解題

高中數學中對橢圓的定義為：平面內和兩個定點分別記為F1和F2之間的距離之和大于常數2a（數學表達式為：2a>F1F2│）的動點P的運動軌跡稱為橢圓，數學表達式寫作：│PF1│+│PF2│=2a。本公式中的兩個定點F1、F2稱作橢圓的焦點，兩個焦點與坐標軸之間的距離用字母c表示，數學公式為：│F1F2│=2c<2a，2c為橢圓的焦距，P為橢圓上的動點。在做橢圓題目的時候，遇到求解橢圓焦點問題時，就可以使用這種方法解決。例題2：已知△ABC的底邊AB=14，AC和BC兩條邊上的中線長度之和為27，求解此三角形中心G的運動軌。分析題目：有題目給出的條件可以得出│AG│+│BG│=18，之后再根據橢圓的定義進行求解。解題步驟為：設AB所在直線為x軸，AB中點為坐標原點建立直角坐標系。G點的坐標為（x，y），因為│AG│+│BG│=18，所以三角形重心G的運動軌跡是以A、B兩點作為焦點的橢圓，又因為A、B兩點在坐標軸上，所以得出a=9，c=7，所以b=2√8。所以橢圓方程為x2/81+y2/49=1，（y≠0）。

但是在實際的解題的時候，題目并不會如此單一，很多時候會與其他知識點相結合考察，所以就需要我們高中生提高自己對基礎知識的掌握程度，平時在課下對所學知識點進行練習鞏固，將各個知識點融會貫通，養成一定的做題慣性。通常會有兩種方法結合使用的題目，我們在做題的時候需要以定義法作為解題的基礎方法，再考慮其他的解題方法，有時候一個題目有多種解法，但是計算過程中計算量不同，所需要花費的解題時間也不一樣，因此我們在平時做練習題的時候，需要對同一題目采用多種解題方法解答問題，拓寬自己解題的思路。隨著新時代課程改革的進展，橢圓問題的解決方法也會逐漸增多，比如向量法、數形結合法等。隨著這些知識點與橢圓等圓錐曲線問題的結合考察與解答，可以幫助我們高中生拓寬解題思維方向，輕松解答各種高中數學題目。也需要高中生在不斷的練習過程中，歸納總結題型以及簡便解法，讓自己在上考場的時候，利用最少的時間做出題目，并保證正確率，最后獲得高分，進入自己理想的大學。

三、解答高中數學中橢圓題目的重點

在上文解題的時候也簡要指出解答橢圓問題的方法步驟。第一步就是讀題，審題。本步驟是解答問題的關鍵性操作，因為通過對題目的閱讀與審判，知道本題是何種題型、使用何種解題方法。從給出的信息條件中找到解題時需要使用的關鍵信息，了解題目的已知條件以及位置關系，根據橢圓的標準方程進行推導計算。下一步就是在解題的過程使用運用之前自己學習的知識，解答問題。這與我們高中生平時的積累聯系息息相關，對于基礎知識的掌握程度的高低是做對題目幾率大小的基礎。在教學中，教師要關注橢圓的定義、標準方程、幾何性質等知識，直線與橢圓的位置關系主要出現在解答題中，題型主要以選擇、填空題為主，一般為中等難度題。目前我國高中數學知識之間的聯系越來越密切，因此我們高中生在學習橢圓知識的時候，需要循序漸進，由淺入深，還需要與其他知識點進行結合，在學習新知識的同時，鞏固學過的知識。需要做到簡答問題必須做對，中級問題盡最大努力學會，課下多練習，考試的時候爭取做對，而高難度問題需要我們在平時的聯系中多做，考試的時候如果不會，就將自己會的步驟寫下來，爭取多得分。

四、解答高中數學中橢圓題目時的注意事項

作為一名在讀高中學生，我們在課堂上學習橢圓知識的時候，需要特別注意老師解題時對橢圓標準方程的推導步驟以及使用的計算方法。并且隨著學習的不斷深入，要注重對所學知識、題型的歸納總結，增強對知識點的掌握能力，為之后的學習打下堅實的基礎。目前我國高中教材中對圓錐曲線章節是按照圓-橢圓-雙曲線-拋物線的順序進行安排的，教師在講課的時候大部分也是按照課本的順序講解的，所以我們學生在學習的時候需要學好每一部分知識，一步一個腳印，扎實掌握每一部分。還需要提高對基礎知識的重視程度，俗話說，地基打不牢，大樓頃刻倒塌。所以在學習的過程中，根據老師講課進度、練習題難度的增加，鞏固知識，一層層的推進，從易到難，由淺及深。我們還需要注意對自己錯題的整理與歸納，通過反復的練習，增強自己解題的感覺。除了上述方法之外，還可以在解題的時候引入數形結合的數學解題思維，將所學知識從課本上升至實例中。現在某些地方的教師在講課的時候，可能錯估了學生學習接受鞏固知識的時間，也對學生可以接受的難度判斷失誤，使得自己講的知識難度增加，而學生們無法跟上老師的進度，導致我們在學習橢圓知識的時候，基礎知識掌握不牢固，難點知識學不會。因此我們學生自己必須根據老師推薦的資料進行自我練習，根據高考試卷了解考點及難度，歸納總結考試中使用的解題方法以及解題技巧，不斷提高題目的難度，以幫助自己提高做題效率和考試成績。目前，橢圓作為我國高考數學試卷中考試重點知識，往往會與其他圓錐曲線聯合考察，比如拋物線和雙曲線，應該在做練習的時候注意與其他知識點結合，具體題目具體分析，我們在學習的時候必須將橢圓知識掌握牢固，為后續圓錐曲線的學習奠定基礎。

五、結論

總而言之，高中數學中所考到的橢圓題型復雜多變，解題方法也靈活，但是其考察的知識點范圍是一定的，需要我們注意扎實掌握基礎知識，利用課余時間多加練習。平時我們常用的解題方法基本上就以下幾種：性質法、待定系數法和定義法。我們在平時學習的時候還需要調動自己學習的主動性，培養自己學習數學的興趣，在練習題中獲得快樂，可以對數學知識與知識背后的故事結合理解，豐富學習的內容，拓寬解題思路。希望所有的高中都能考出一個好成績，步入理想的大學。

【參考文獻】

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