數學解題反思研究

戎湉

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?數學解題是一個思維過程，羅增儒教授把它分成浮現數學現象、產生數學直觀、展開數學思想、給出邏輯證明、反思解題過程、展開動態想象[1]這六個部分。其中解題反思是一個必不可少的過程，數學解題并不是簡單的公式套用，也不是機械性的操作，它需要特定的數學思維來進行。通過闡述解題反思的意義方法以及典型案例，以此來提升學生學習效果。

[關 ? ?鍵 ? 詞] ?數學分析解題;反思;中學數學

[中圖分類號] ?G633.6 ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼] ?A ? ? ? ? ? ?[文章編號] ?2096-0603（2019）13-0130-02

張奠宙在他的著作《數學教育經緯》中提出：“教學不只是傳授知識而已。學生的主體地位體現在哪里呢？我認為，課堂上應該有一個‘質疑與反思的環節，讓學生不僅能被動接受，也能主動反思、咀嚼、總結、發展。”[2]羅增儒在著作《數學解題學引論》中，針對解題過程提出：“在解題思想的指導下，合理地運用解題策略（或原則），科學地制定解題程序，從而進行解題行動的一個思維過程;實現問題的初始狀態到最終狀態的轉化，是解題行動的追求，這種轉化是解題的基礎理論與基本方法的運用;而完整的解題過程，還應該包括解法研究，如解后的回顧、反思以及自始至終的調控等，這是一個最容易被忽視的環節。”[3]

一、解題反思的內涵與特征

中學數學學習中會遇到各種題目，若處理不當，不但違背了出題者的本意，也會使學生學習積極性下降。為了更好地應對這一現象，解題反思就變得必不可少。解題反思顧名思義就是指做題的時候對出現的問題進行深入的思考，對本題用到的數學思想方法、技巧進行總結歸納。解題反思對提高學生學習主動性很有幫助，對解題思路是種升華。[4]

反思性學習的基本特征主要有三個方面，分別是深度性、主動性、創造性。首先學生應該具有學習的主動性，解題反思整個過程都要由學生自主完成，教師可以適當引導。解題反思應該具有深度，沒有深度的反思和直接翻參考答案沒什么區別。創造性則是指我們可以發現新的解題方法或者演變出新的題目。

二、解題反思的意義

（一）培養創新精神和實踐能力的需要

素質教育是以培養創新精神和實踐能力為重點的教育，這就要求學生不能只會解題目還要學會反思。同時《普通高中數學課程標準（實驗）》中也強調要提高學生的數學思維能力。不能光做知識的接受者，而要學生學會學習，有獨立探究，會反思的能力。[5]

（二）提高自身解題能力

數學題目變化萬千，更有一題多解，一題多變，在最短時間找到最優的方法就是學生需要提高的能力，解題反思是關鍵。解題后進行反思與歸納可以使學生理清解題思路，形成解題經驗，為之后解題提供經驗，解題后反思不同題的區別與聯系，一題多解，舉一反三。[6]高中生數學解題是數學日常學習的重要組成部分，專家認為解題反思是數學解題的重要部分，不僅能幫助學生理解知識，掌握方法，還能鍛煉學生的思維能力和解題能力。[7]

（三）提高學習積極性

反思帶給學生的不是枯燥的解題而是自我的升華，學生不單單可以解出這一道題目更加可以解出這一類題目，同時解題速度也會得到提升，有利于他們自信心和積極性的培養。

三、解題反思的方法

（一）教師方面

1.老師應該注重教學設計，在課堂上創設一些讓學生思考的情景。新課標要求教師教學要激發學生學習興趣，調動學生學習積極性，引發學生積極進行思考，鼓勵學生展開創造性思維。沒有思考，學生可能只是在一味接受，變成機械式學習。經常反思可活躍學生思維，對學生以后的學習很有幫助。

2.老師在給學生展示解題過程時應呈現自己的思考過程，而不是簡單解題過程。比如證明一道題目，教師可以直接講解然后給出答案，也可以邊講解邊與學生交流，與學生交換思考的方法。后者，學生在講解過程中會不斷思考，對題目的理解會更加深入，而前者對大部分學生而言可能只是接受學習。教師講解這道題目的目的不應該只是為了讓學生弄懂這道題目，更是應該讓學生掌握解決這類題目的思維方法。

3.老師布置作業很關鍵，許多機械重復的題目不但加重學生負擔，也降低了他們學習的積極性。可以找些難度適中，且可以一題多變多解的題目讓學生自行尋找方法并進行總結歸納，錯題集是個很好的工具需要利用起來。面對一題多變的題目，學生開始可能會覺得有點難。而一題多解的題目并不好找，需要老師發費大量的時間，學生可以根據自己解答這類題目的反思來編一個，這樣可以提高效率。

（二）學生方面

1.建立錯題集或者反思本，形成良好的習慣。錯題本的建立不是一次性的，而是一個長期反復的過程，即使前面的錯題整理完了也需要多次去思考，如，錯在哪，為什么錯，以后有什么樣的方法可以避免。許多學生發生錯了，改正后再也不看了，其實很大程度上，下次遇到類似的題目仍然可能會錯，因為學生沒有真正理解，或者理解得不夠深刻，遺忘了。錯題集是學生不會的或者是有思維偏差的，需要糾正的，需要好好加以利用。

2.解題反思的具體實踐（下面詳論述）。

四、解題反思的具體內容

（一）反思題中的知識點數學思想及技巧

中學數學知識點龐大學生讀完題目后往往不知道該題目在考查什么知識點，無從下筆，所以要反思題目所考查的知識點，以便下次解題時有解題方向。中學生很容易忽視數學思想方法，但數學思想往往是一道題解題方向的突破口，反思題中的數學思想方法十分重要，需要自己抽象概括，要不斷思考。技巧是解一道題目的關鍵，有時候沒有找到技巧會使解題過程異常困難，所以反思解題技巧很重要，需要學生平時多積累。

（二）反思習題的一題多解以及最優解法

反思一題多解以及最優解法對學生提出了比較高的要求，可以鍛煉學生思維的靈活性和敏捷性，達到“聞一知十”。如果說一題多變是教師的任務，那一題多解則需要學生來完成，一題多解，很大程度上可以拓展學生思維，即使有些題目沒有一題多解，也提高了學生的思維活躍程度。

（三）反思錯題原因

解錯一道題的原因有很多，如粗心、解題過程不嚴謹、漏用錯用條件、考慮不周、思維混亂等因素，許多學生聽完老師講解或者看完參考答案就不管它了，其實這少了關鍵的一步反思，缺少對自己為什么解錯或解不出來的反思。若沒有反思下次可能還是會錯。

（四）反思難題

難題有時候確實很棘手，但是我們不能怕它們，我們可以對照答案的思路與自己思路的區別，反思答案是怎么想到這一步的，慢慢積累。面對難題，學生對它的態度應該是若下次再見到，可以獨立做出來，見到類似的題目可以有解題的思路，而不是一籌莫展。

五、典型案例

（2016·河北衡水冀州中學月考）將函數y=sin2x的圖像向右平移■個單位，再向上平移1個單位，所得函數圖像對應的解析式為（）

A.y=2sin2x ? ? ? ?B.y=2cos2x

C.y=sin（2x-■） ? ? ?D.y=-cos2x

答案：A.將函數y=sin2x的圖像向右平移■個單位，得到y=sin2（x-■）=sin（2x-■）=-cos2x的圖像，再向上平移1個單位，所得函數圖像對應的解析式為y=-cos2x+1=2sin2x，所以選A.

這道題對剛剛接觸函數的學生很容易寫錯，其往往就直接寫成2x-■，此時我們可以從題目考查的知識點來反思，本題明顯考查函數的上下左右平移，回憶可知函數上下平移是整個函數上下平移，所以我們需要對y進行加減，函數左右平移是對自變量x而言的，即對x進行加減，所以這就是關鍵。

解題反思是思維能力提升的表現，也是促進師生用動態發展的觀點看問題的辯證思想的形成，更是學生綜合學習素質得以彰顯的必經歷程。[8]注重學習中解題反思的應用，不僅可以激發學生學習積極性，還可以提升學生的思維品質，使學生掌握解題技巧，遇到問題可以更快找到突破口。培養高中生的數學反思能力需要更多深入的研究，這必定是一個不斷反復、逐步提高的過程，在這個過程中同樣需要教師和學生共同的努力。[9]

參考文獻：

[1]羅增儒.中學數學解題的理論與實踐[M].南寧：廣西教育出版社，2008.

[2]張奠宙.數學教育經緯[M].南京：江蘇教育出版社，2003.

[3]羅增儒.數學解題學引論[M].西安：陜西教育出版社，2008.

[4]杜威.我們怎樣思維[M].姜文閔，譯.北京：人民教育出版社，2005.

[5]華佳.高中生解題反思中數學思維品質的培養與研究[D].杭州：杭州師范大學，2016.

[6]楊圣杰.高中生數學解題反思的實踐研究[D].哈爾濱：哈爾濱師范大學，2016.

[7]朱坤燕.高中生數學解題反思能力的培養研究[D].南京：南京師范大學，2017.

[8]方開勝.高中數學解題反思的應用[D].貴州：貴州師范大學，2015.

[9]周洪波.培養高中生數學反思能力的策略研究[D].固原：寧夏師范學院，2018.

編輯 張 慧