基于學習分類理論的高中數學教學思考

蔡海濤

心理學家加涅按照學習的結果把學習劃分為五類，即言語信息的學習、智慧技能的學習、認知策略的學習、動作技能的學習和態度學習，學習分類理論認為：不同類型的學習結果，所需要滿足學習的過程及條件也不相同，對不同的學習結果采用不同的教學方式、策略，可以提高教學效益，本文以“直線與平面垂直的判定”若干教學片段為例，談談基于學習分類理論的高中數學教學的一些思考，以期與同行交流.

1 定理引入環節

1.1片段呈現

教師創設情境導入，

問題1這是我們學校校園廣場美麗的圖片（如圖1），請同學們觀察學校廣場的燈柱子與地面的關系。

生：垂直關系，

接下來，老師拿出正方體的模型，問題2：正方體的側棱與底面有什么關系，

生：垂直關系，

師：剛才我們是把燈柱子抽象成直線，地面抽象成平面來觀察兩者之間關系的，

接著，師追問，問題3：觀察圖2，回答以下問題串：

（l）陽光下，旗桿AB與它在地面上的影子BC所成的角度是多少？

（2）隨著太陽的移動，影子BC的位置也會移動，而旗桿AB與影子BC所成的角度是否會發生改變？

（3）旗桿AB與地面上任意一條不過點B的直線的位置關系如何？依據是什么？

師生活動：教師用多媒體課件演示旗桿在地面上的影子隨著時間的變化而移動的過程，引導學生得出旗桿所在的直線與地面內的直線都垂直.

1.2 設計意圖

加涅的學習分類理論認為：言語信息又稱陳述性知識，是指人們用語言來表達信息的能力，是學習解決“是什么”的問題，智慧技能的本質特征是人們使用符號與環境進行交互作用，是學習解決“怎么做”的問題，

通過問題1和問題2的一導和一問，借助圖片、實例的觀察，在直觀感知和理解線面垂直關系基礎上，抽象歸納出直線與平面垂直的定義，借助學生熟悉的模型充分地激發起學生學習的興趣，在立體幾何的入門教學中，要充分借助模型，而模型最好是學生再熟悉不過的東西，教學中，我們發現學生最熟悉的模型是正方體和正四面體，通過研究教材，我們發現課本中大部分的例題和習題是通過這兩個模型抽象而來，這兩個模型容量大，很多的線線、線面、面面關系都可以從這兩個模型中找到，同時，我們還可以引導學生把手中的筆抽象成線，課桌椅的桌面抽象成面，借助模型，我們可以演示出各種基本的線面位置關系，較快形成空間概念的目的，提高了學生的言語信息學習效果，培養了學生的數學抽象能力和直觀想象能力，促使學生形成正確的空間概念，

問題3的第（l）與（2）兩問旨在讓學生發現旗桿AB所在直線始終與地面上任意一條過點B的直線垂直;第（3）問進一步讓學生發現旗桿AB所在直線始終與地面上任意一條不過點B的直線也垂直，在這里，主要引導學生通過觀察直立于地面的旗桿與它在地面的影子的位置關系來分析、歸納直線與平面垂直這一概念，提高了學生智慧技能學習效果，由于在之前教學環節中有了模型的應用，學生對線面垂直關系有了初步的直觀感知，再把這模型抽象成幾何圖形就容易多了.

2定理探究環節

2.1片段呈現

問題4我們在學好線面垂直的定義后，知道要判斷直線與平面垂直，必須要證明這條直線垂直平面內的任意一條直線，這在實際問題中是無法操作的，看來我們必須尋找新的解決辦法，下面我們一起來做個實驗，請各個學習小組拿出課前準備好的紙片，如圖3，過AABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，如圖4，將翻折后的紙片豎起放在桌面上（BD，DC與桌面接觸），如何翻折才能使折痕AD與桌面所在平面垂直？

師生互動：各個小組在自主探究和合作交流中，得到當折痕AD與BC垂直時，折痕AD與桌面所在平面垂直，通過這個實驗，我們發現要判斷一條直線垂直平面，只要這條直線垂直平面內兩條相交直線就行，這就是證明線面垂直時“線不在多，相交就行”，從而得到判定定理.

2.2 設計意圖

加涅的學習分類理論認為：認知策略是一種特殊的智慧技能，它包括控制學習、識記和思維運用的能力，動作技能是指通過練習獲得的、按一定規則協調自身運動的能力，這種技能是通過練習來改善的，其學習的本質是重復基礎性的動作并從環境獲得反饋。

這個數學實驗的設計目的是讓學生動手操作，感悟折紙活動的數學內涵，感知“不垂直”的原因和“垂直”的條件，從而探究新知，數學理論的抽象性，通常有某種“直觀”的想法為背景，特別在高一立體幾何入門學習中，為了讓學生盡快扭轉缺乏空間想象能力的現象，教師通過數學實驗，把這種直觀的背景顯現出來，幫助學生抓住其本質，了解它的變形和發展及與其它問題的聯系，學生在實驗中感受“有限”代替“無限”，歸納出直線與平面垂直判定定理的本質特征，體會“轉化”思想在數學研究過程中的重要作用，加強了認知策略的學習，這個環節著力于學生的學，讓學生成為學習主人，主動探索新知，力求通過這個方式來培養學生的創新精神、動手能力和解決問題的能力，加強了學生動作技能的學習，同時有利于改變學生學習數學的方式.

3定理證明環節

3.1片段呈現

問題5經過剛才的實驗，猜測出要判定線面垂直，只要這條直線垂直平面內的兩條相交直線就行，但是，這個結論還需要經過嚴格的證明才可以，這個結論一定成立嗎？我們該如何證明？

當老師這么說時，原本經歷實驗成功興奮的學生們立馬安靜了下來，這個時候，老師打出幻燈片，對定理的證明做如下的介紹：

歐幾里得在《幾何原本》第Ⅱ卷中就給出了線面垂直的定義和判定定理，并對定理進行了證明，不過證明過程比較繁瑣冗長.

20世紀中葉以前的西方立體幾何教科書中，線面垂直定理的證明方法主要有6種：歐式證法、等腰三角形法、對稱法、引理法、勒讓德法、阿達瑪法，其中最廣泛采用的是對稱法.

18世紀法國數學家克萊羅（1713-1765）在《幾何基礎》（1741）中并未給出嚴格的證明，而只作了一個直觀的解釋：如圖5所示，

師：以上這些數學家對定理有不同方法的證明，請各位同學再上網查閱相關資料.

3.2設計意圖

加涅的學習分類理論認為：態度影響學習者選擇個人行動，態度是個體習得的相對穩定的影響個體行為選擇方向的內部狀態，

本節課對定理的證明，雖然課本沒有給出嚴格的證明，但是對于一個定理學習的完整性，證明是必要的，這是探究一個新知的積極態度，基于學習分類理論中學習態度方面的考慮，在證明的環節滲透數學文化，架起數學文化與實踐研究的橋梁，把數學史文化滲透到課堂里，讓學生感受到在數學的歷史長河中，重大思想方法的誕生和發展激發了學生的學習興趣，同時讓學生更接近數學的本源，更好地理解數學，從而讓學生在學習數學時，形成喜歡數學的態度.

4 總結反思

人的學習行為是千差萬別的，但都可以歸入加涅提出的五類學習結果中，即言語信息、智慧技能、認知策略、動作技能和態度的學習，因此，我們可以針對不同類型的學習來設計教學，包括確定目標、任務分析、教學過程及結果測評，在本節課中，學生學習的困難在于如何從直線與平面垂直的直觀形象中提煉出直線與平面垂直的定義，感悟直線與平面垂直的意義;以及如何從折紙試驗中探究出直線與平面垂直的判定定理;在探究直線與平面垂直的判定定理過程中，學生對“為什么要且只要兩條相交直線”的理解有一定的困難，因為定義中的“任意一條直線”是指“所有直線”，這種用“有限”代替“無限”的過程會導致學生形成理解上的思維障礙，基于學習分類理論的教學設計，注重學生經歷數學知識形成和發展的過程，每一個學習環節的目標是具體的、可操作的，而非空洞的，通過這五類學習，可不斷完善學生的知識結構，從而發展學生的創新性學習，使學生的學習具有能動性、獨立性、超前性、參與性，只有這五類學習均衡發展，才能引導學生走向創造。