例談解題后反思對初中生解題能力的培養(yǎng)

林碧姬

（福建省霞浦一中，福建霞浦 355100）

引 言

如今，在日常教學過程中，教師會提供很多不同類型的數(shù)學題讓學生解答，學生花費了相當多的時間和精力答題，做的題目雖多，效果卻不理想，解題能力沒有得到顯著提高[1]。究其原因，主要是學生就題解題，沒有反思，缺少體會，無法內化。因此，筆者從以下三個方面的反思淺談學生解題能力的培養(yǎng)。

一、反思解讀題目條件，提高學生的審題能力

解答數(shù)學題，特別是解一道比較復雜的數(shù)學問題時，分析已有條件，挖掘隱含條件，聯(lián)想相關知識點，聯(lián)想數(shù)學思想非常重要。如例1 所示。

例1：已知拋物線y=ax2+bx+c經過點A(0,2)。

（2）拋物線上任意不同兩點M(x1,y1)，N(x2,y2)且當x1＜x2＜0時，（x1-x2）(y1-y2）＞0；當 0 ＜x1＜x2時，（x1-x2）(y1-y2）＜0，以原點O為圓心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個交點為B，C，△ABC有一個內角為60°。求拋物線的解析式。

這是2018年福建省中考數(shù)學試卷的最后一題（部分），許多平時比較優(yōu)秀的學生都止步于第（2）題的解答。通過和他們的交流，筆者發(fā)現(xiàn)他們對條件“拋物線上任意不同兩點 ),(11yxM， ),(22yxN，且當x1＜x2＜0 時，（x1-x2）(y1-y2）＞0；當0＜x1＜x2時，（x1-x2）(y1-y2）＜0”不理解。確實，在初中階段很少出現(xiàn)這樣的表述方式，學生沒有經驗，條件就變得抽象了。那么就應逐條分析條件：由x1＜x2＜0，可得（x1-x2）(y1-y2）＞0 中 的x1-x2＜0， 那 么（x1-x2）(y1-y2）＞0要成立，就有y1-y2＜0，此時條件就轉化為“若x1-x2＜0，則有y1-y2＜0”，條件明晰：若x1＜x2＜0，則有y1＜y2。分析到此，由另一個條件“當0＜x1＜x2時，(x1-x2）(y1-y2）＜0”，同理可得：若0＜x1＜x2，則有y1＞y2。組合推導出來的兩個小結論說明了——在y軸左側，y隨x的增大而增大；在y軸右側，y隨x的增大而減小。至此，條件就以學生熟悉的方式呈現(xiàn)了。結合條件聯(lián)想二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像與性質的相關知識點，或畫出草圖，可得：此拋物線開口向下，y軸為對稱軸。其解析式為：y=ax2+2[已有直接條件A(0，2）]。

此時，還有系數(shù)a未確定，顯然還需要一個條件。目標條件：“以原點O為圓心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個交點為B，C，△ABC有一個內角為60°”。解讀條件，獲取信息：由“對稱性與60°內角”得△ABC是等邊三角形；由“OA為半徑”得圓O的半徑為2。顯然，所給的條件是圖形信息，要求解的是系數(shù)a，聯(lián)想平時的解題經驗，應該應用“圖形與坐標”這部分知識來解決。因此，先畫出草圖如圖1所示，分析圖形，找出與拋物線上點C的坐標有關系的線段，利用半徑為2 這個已知線段，60°已知角這些條件構建Rt △OCD，通過解直角三角形得線段、得點坐標，從而確定函數(shù)解析式。

圖1

反思分析題目條件解決問題的過程如下。（1）對題目條件的使用，要不斷提問，這個條件告訴我們什么信息？若干條件組合又告訴我們什么結論？雖然我們的結論未必能立刻解決問題，但這樣的分析和思維猶如抽絲剝繭，不斷地按照“條件—結論”開展，直至解決問題。（2）對題目條件的使用，就是不斷進行“文字語言、符號語言、圖形語言”三種語言互換的過程。（3）對題目條件的使用，要善于聯(lián)想相關知識點，善于結合一些思想方法突破條件，如有些學生對條件“當x1＜x2＜0 時，（x1-x2）(y1-y2)＞0；當0＜x1＜x2時，(x1-x2)(y1-y2)＜0”的探究就是通過取足夠多的特殊點畫圖來獲得結論的。（4）根據題目條件，要勤于畫出草圖，利用圖形直觀地解題，解題效果將事半功倍。

二、反思解題過程，提升學生的思維水平

（一）總結解題方法和要點

隨著數(shù)學學習的深入，學生解題也達到了相應的“量”，如果進行反思，就會發(fā)現(xiàn)某些問題具有共同特征。如例2 所示。

例2：（1）若 關 于x的 方 程(k-2018)x- 2016=6 -2018(x+1)的解是整數(shù)，則整數(shù)k= _________。

（2）關于x的分式方程的解為非負數(shù)，則k=________。

（3）當k為何值時，關于x的不等式x-k＞0 恰有兩個負整數(shù)解？

這類問題的特征是給出方程（或不等式）的解（或解集）的條件，反過來求字母系數(shù)k 的值（或取值范圍）。而這類問題的解答模式往往是先把字母系數(shù)k 當成已知數(shù)求出方程（或不等式）的解（或解集），再利用解（或解集）滿足的條件構建字母系數(shù)k的方程（或不等式）來解決問題。

有些幾何解答題思想方法的呈現(xiàn)方式和解題策略亦有共同特征。如例3 所示。

例3：如圖2所示，以△ABC的兩邊AB，AC為邊向外作等邊△ABE和等邊△ACD，連接BD，CE。

求證：BD=CE

回顧解題的思維過程：根據問題的條件和結論，分析圖形時發(fā)現(xiàn)了組合得到新圖形△ABD和△AEC的元素（邊和角）之間有關系，從而發(fā)現(xiàn)兩個三角形全等，再利用全等的性質使命題得證。這樣要獲得兩條線段或兩個角相等的結論，可以嘗試探究線段（或角）所在的兩個三角形是否全等，如果能證得全等，問題迎刃而解。所以，這類平面幾何題通常歸結為求證兩個三角形全等的問題。

可見，解數(shù)學題時，如果對問題進行識別，分析其特征，并能準確地加以歸類，那么便能快速找到思路，使用相應的方法解決問題，使學生的解題能力發(fā)生“質”的變化。當然，要形成這種正確且迅速的辨認能力，除了需要“見識”相應量的題目外，還需要養(yǎng)成回顧、反思的習慣，通過“有心”地觀察、類比，再輔以推導，最終概括形成某種數(shù)學模式和圖形。

圖2

（二）克服思維定式

例4：在平面直角坐標系中，當2≤x≤4 時，二次函數(shù)y＝x2-8x+c和一次函數(shù)y＝-x+6 圖像有且只有一個公共點，求c的取值范圍。

∵函數(shù)y=x2-8x+c與y=-x+6 的圖像只有一個交點

∴Δ=73-4c=0

顯然，學生只解答出了一種情況，產生這種錯誤的原因是受到了求解“拋物線與直線的交點”的思維的影響，是思維定式的消極反映。學生沒有發(fā)現(xiàn)題目變化，對問題分析不夠透徹，只是機械套用原有的解題方法和經驗，阻礙了問題的正確解決。

事實上，此題還有另一種情況：拋物線y=x2-8x+c 與直線y=-x+6 有兩個交點，只是其中一個交點在2≤x≤4 范圍之外而已，所以還有后續(xù)解答：

若函數(shù)y=x2-8x+c與y=-x+6 有兩個交點，其中一個在2≤x≤4 范圍內，另一個交點在2≤x≤4 范圍外，則△=73-4c＞0，解得

對于y=-x+6，當x=2 時，y=4；當x=4 時，y=2，

又∵當2≤x≤4 時，y隨x的增大而減小，

若y=x2-8x+c與y=-x+6 有兩個交點在2≤x≤4 內有一個交點，

則當x=2 時，y≥4；當x=4 時y≤2，

因此，在解題中，一方面要注意利用原有的知識、方法與經驗，類比相似問題，快速尋找解題思路；另一方面又要細心發(fā)現(xiàn)題目間的差異，辨認清晰，進行更深入的分析，克服思維定式的消極影響，從而提高解題能力。

三、反思解題規(guī)律，訓練思維靈活性

圖3

例5：如圖3所示中的圖（甲），∠AOC和∠BOD都是直角。

（1）如果∠DOC=28°，那么∠AOB的度數(shù)是多少？

（2）找出圖（甲）中相等的角，如果∠DOC≠28°，它們還會相等嗎？

（3）若∠DOC變小，則∠AOB如何變化？

（4）在圖（乙）中利用能夠畫直角的工具再畫一個與∠COB相等的角。

這是北師大版七年級（上）第四章課后的一道數(shù)學題。解題后，對此題進行反思，筆者認為十分有意義。首先，它是以連續(xù)小題形式出現(xiàn)的比較早的幾何題；其次，各小題的呈現(xiàn)方式由淺入深、前后連貫，易于發(fā)展學生的思維能力；最后，題目達到了一定的思維量，若學生能夠體會題目的設計意圖，可為解決連續(xù)小題類型的綜合題積累經驗，養(yǎng)成思維靈活性。

分析題目可知：(1)題有多種解法，既增強了學生的識圖能力，又培養(yǎng)他們的發(fā)散思維；(2)題的探究是從特殊到一般，推廣題目，又為(4)題的解答做出鋪墊；(3)題的解答，既可以建立∠AOB與∠COD之間的關系式，初步感知函數(shù)思想，又可以將∠AOC繞點O旋轉，通過動手操作直觀感受圖形；(4)題考查學生能否利用已探究出的結論將(乙)圖轉化成(甲)圖，轉化思想在數(shù)學解題中的應用非常廣泛。

除了要圍繞具體題目進行反思外，也要反思解題的大方向，以便于找到解題規(guī)律。

結 語

學生在學習數(shù)學時如果能養(yǎng)成解題后反思的習慣，無疑對提高數(shù)學解題能力具有重要意義。當然，學生解題能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，而是在學習過程中逐步建立起來的，教師應隨時關注學生解題后的反思。