建模思想在初中數學中的體現

江蘇省如皋市下原鎮下原初級中學 許波琴

新課程下的初中數學不僅注重純粹理論性知識的教學，而且更加注重數學與生活實際的結合和學生解決實際問題能力的培養。從中考應用的實際來看，以建模思想為基礎的應用性問題的數學教學，不僅能提高學生的應試能力，也能提高學生將實際問題抽象為數學問題的建模能力。數學建模將數學知識與其他學科知識進行聯系，對學生學習知識的系統性、熟練性、應用性均有重要促進作用，課本相關例題或其他習題也是在潛移默化地向學生傳遞建模思想，下面簡單探討建模思想具體是如何在初中數學當中表現出來的。

一、概念教學彰顯建模思想

數學概念因其本身的抽象性和概括性，導致學生對概念的學習有著根深蒂固的畏懼心理。但是數學概念是構成數學內容的重要組成部分，學生必須掌握。學生只有掌握了數學概念的本質，抓住概念的關鍵之處，才能游刃有余地解決有關概念的問題。因此，初中教師要重視數學概念教學，采取多種方法和手段促進學生對概念的理解，其中建模思想就是一種重要的教學手段，其廣泛應用在初中數學概念的教學當中。通過建模思想的概念教學能大大提高學生對概念的理解，讓學生透過現象看本質，抓住概念的本質屬性，進而增強概念教學的有效性。

例如，利用圖形面積來講解平方差公式的過程當中，已知正方形的邊長為，截去一邊長為的小正方形，將圖中的長為寬進行移動，進而拼接成一個新的長方形，如圖2。問：圖1、圖2中陰影部分的面積如何表示？兩塊陰影部分面積之間有何數量關系？根據割補求圖形的面積，我們很容易得到：圖1陰影的面積為圖2陰影的面積為由于兩塊陰影部分的面積相等，于是得到將左右兩邊數字轉化為學生所熟悉的圖形面積，化抽象為生動，更加有利于學生對平方差公式的掌握。

平方差公式和完全平方公式關系著整式運算公式、代數證明和幾何模型。雖然教材中也給出了不少證明過程，但實際教學中教師和學生往往忽略其中所蘊含的思想和作用。學生通過簡單的計算可能會對平方差公式有模糊的概念，但卻不能有更加深刻的理解。通過將面積與平方差公式進行結合建立起的模型，能夠很好地促進學生對公式的理解與應用，促進相關的概念教學。

二、函數教學體現建模思想

函數是數學知識的重點內容，也是中考的必考點。函數與現實生活密切聯系，揭示了現實世界中眾多數量關系的本質，例如最大利潤、用料最省、最小成本等問題，均可以建立函數模型進行求解。函數與方程的實際應用有異曲同工之處，函數實際問題涉及的數量廣、關系錯綜復雜，如何把握函數問題的實質和數量關系建立起函數模型，這是解決函數實際問題的關鍵。因此，在利用函數解決實際問題的過程中，教師要有意識地培養學生的建模意識，教授學生建模的思想方法和步驟，積極引導學生利用所學的建模思想和方法去分析解決問題，進而逐步提高學生分析與解決問題的能力，促進學生綜合能力的發展。學生學會利用函數思想解決現實中的生活問題，不僅能深化知識，又能加強學生綜合運用知識的能力，提高數學課堂的高效性。

例如，在利用二次函數解決實際問題的教學中，教師可以讓學生先明確函數模型和方程模型大致相同，只不過函數模型是將兩個變量之間的關系表示出來。隨后再拋出例題：某一型號計算器進價為每個12元，售價20元，現有以下優惠：凡一次性購買十個以上，每多買一個，所有的計算器每個就降價0.1元。例如某人一次性買了30個計算器，于是每個降價因此，所買的全部30個計算器都是按每個18元的價格購買的，但是最低價格為每個16元。（1）一次性至少買多少個，才能以最低價進行采購？（2）一次銷售個時，所獲得的利潤為y元，寫出y與x之間的函數關系式和自變量x的取值范圍；（3）某天，甲買了46個，乙買了50個，用數學知識解釋賣46個賺的錢比賣50個要賺得多的原因；為了避免這種現象，在其他優惠政策不變的情況下，應該如何定最低價？學生知此題是有關利潤性問題，而且三個問題的設置層層遞進，又由于x的取值范圍不同，故函數模型不同。因此，教師可以引導學生先解決第一個小問題，設一次性購買x個，則有20-0.1（x-10）=16，解得x=50；瀏覽第二問，題目限定了再結合第一問的結果，可以很容易列出相關方程：解決第三個問題，聯系第一、二問以及二次函數的特點和性質，便很容易解決。

由此可見，建立合適的函數模型是解決有關利潤問題的關鍵。學生要逐步剖析題目所給的條件，找出等量關系，列出相關函數，同時要留意前面的小問題有可能會啟發后面復雜問題的解決。

三、方程教學顯露建模思想

方程作為初中數學教學的重點，同時也是中考的重要考點，內容主要涉及一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程等。應用方程解決實際應用題可以簡化思考過程，例如有關增長率、產品購銷、工程施工等問題。但是學生對這一部分的掌握是非常薄弱的，主要原因還是學生無法熟練地應用建模思想，更不用說從具體問題情境當中抽象出相關的數學模型。因此，教師需要在方程教學當中重視培養學生的模型思想和應用意識，讓學生模仿生活，有意引導學生觀模、感悟，切實掌握建立方程模型的步驟與方法，從而提高學生對問題的解決能力。

例如，在用一元二次方程解決問題的教學當中有題：用長100厘米的金屬鐵絲制作一個長方形，問長、寬各為多少時，長方形的面積是600平方厘米？此題是建立在知道長方形面積公式的基礎上求解，教師先讓學生小組合作探究并同時給予方法指導，可以先設長方形的長為x厘米，那么寬就是（100÷2-x）厘米，即（50-x）厘米，根據x(50-x)=600，很容易便能求出結果。學生在教師的引導下能夠迅速抓住題目中所給的條件，分析出相關的數量關系，進而列出方程解決問題。

列方程解決應用題一般包含以下幾個步驟：審題、設未知數、列解方程、檢驗、做結論。熟悉相關步驟，利用方程可以簡化問題，只要根據已知條件和等量關系列出方程，求解即可。不過學生一定要注意：用方程解決與現實問題相結合的題目，都需要檢驗，在路程相關問題當中，方程要比直接求解應用得更加廣泛。

四、幾何模型呈現建模思想

圖形與幾何是數學內容的四大模塊之一，現實生活當中也包含著許多幾何圖形和幾何問題，如建筑測量，航海等常涉及一定圖形的性質時，這就需要建立幾何模型，把實際問題化歸為幾何問題進行解決。

例如，受冷空氣影響，我省大雨連綿，許多山體滑坡自然災害時常發生。某一居民樓緊鄰土坡，坡上面是一塊平地，如圖所示。AF∥BC，斜坡AB長為30米，坡角∠ABC=65°。為保障安全，社區決定改造土坡，經過專業人員測量，當坡角不超過45°時，可以保證山體不滑坡。（結果均精確到0.1米）求：（1）坡頂與地面的距離AD是多少米？（2）為保證安全，現坡腳B固定不動，坡頂A沿AF削減到E點處，求AE至少是多少米？

本題就是將現實問題抽象成幾何問題，利用銳角三角函數、解直角三角形的知識進行求解。我先引導學生分析題意，從而理解題中所抽象成的幾何模型。學生在理解的基礎上明了：（1）實際就是知道在△ABD中，已知AB=30米，∠ABC=65°，求AD；（2）因無法直接求解AE，進而聯想到可能需要添加輔助線，學生思考討論得到連接BE，作EN⊥BC交BC于N點，通過間接轉化成進而求出AE。

幾何模型將實際生活中有關圖形性質的問題抽象為數學問題，聯系了自然、生活和數學知識。針對幾何問題的解決，學生能明白數學知識能解決與生活息息相關的許多事情，體會數學的應用意義。

初中數學的難度和抽象程度都比小學有了一定的發展和提高，進而導致學生在學習過程當中的困難系數會加大。教師在課堂當中滲透相關的建模思想，可以很好地解決這一問題，進而引導學生更好地學習初中數學知識。創設相關的問題情境或者說與實際相連的模型都能很好地引起學生對數學的興趣，進而引導學生進行積極分析與思考，進一步加深理解數學建模的重要性，促進學生接受并模仿數學建模的方法。學生通過對初中數學中幾種常見模型的學習，既累積了相關的數學建模經驗，提高了初中生對數學知識的學習興趣，又能幫助學生靈活運用知識解決現實問題，促進學生的知識能力思想等的全面提升與發展。