解幾的試題 平幾的本質
——平面幾何性質在高考中的應用

廣東

解析幾何是用代數方法研究幾何問題，解析法偏重于對相關量的數量關系的研究，由于代數運算比較復雜，對運算能力要求較高，往往使很多學生對解析幾何題望而生畏，束手無策.事實上，解析幾何問題的本質仍是幾何問題，若能充分把握解析幾何中圖形的特征，挖掘圖形相應的幾何性質，恰當地運用平面幾何的相關知識進行求解，往往能簡化運算，優化解題過程，能起到四兩撥千斤的功效.

通過對近幾年高考全國卷的分析，可以發現平面幾何的解題思想在高考的解析幾何題中有著重要的作用.本文以近兩年圓錐曲線的高考題為例，展示了從平面幾何的視角解答解析幾何問題，拋磚引玉，供大家參考.

一、與平行線相關的幾何性質

1.梯形的中位線定理

例1(2018·全國卷Ⅲ理·16)已知點M(-1,1)和拋物線C:y2=4x,過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A,B兩點.若∠AMB=90°，則k=________.

解答:如圖所示，設AB的中點為E，過點A,B,E分別作準線l:x=-1的垂線，垂足分別為A1,B1,H.設A(x1,y1)，B(x2,y2),E(xE,yE).

由梯形的中位線定理與拋物線的定義可得

同時點M(-1,1)在拋物線的準線l:x=-1上，所以有|ME|≥|HE|.

2.平行線分線段成比例定理

(Ⅰ)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

(Ⅱ)設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

(Ⅱ)不難發現點M是橢圓的右準線x=2與x軸的交點，所以可以用橢圓的第二定義來證明.

當直線l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°；

當直線l與x軸不重合時，如圖所示，過點A,B分別作準線x=2的垂線，垂足分別為C,D，則有AC∥BD∥x軸.

所以△ACM∽△BDM，可得∠AMC=∠BMD，即有∠AMO=∠BMO.

評析:以上兩例都是以直線和圓錐曲線的相交關系為背景，若用解析法組成方程組求解，運算量較大，較難順利地得出結論.例1利用梯形的中位線定理與拋物線的定義，例2利用橢圓的第二定義與平行線分線段成比例定理，都充分應用了平面幾何中“平行線”的相關知識進行解題，極大地簡化了運算，且解法簡單、優美.

二、與三角形相關的幾何性質

1.等腰(等邊)三角形的性質

( )

2.直角三角形的性質

( )

在Rt△OMN中，∠ONF=90°-60°=30°，

在Rt△OMF中，|OF|=2，∠MOF=30°，所以|MF|=1，

在△ONF中，∠ONF=∠NOF=30°，所以|NF|=|OF|=2，

所以|MN|=|MF|+|NF|=1+2=3，故選B.

3.相似三角形的性質

例5(2017·全國卷Ⅱ理·16)已知F是拋物線C:y2=8x的焦點，M是C上一點，FM的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|=________.

(Ⅰ)求點P的軌跡方程；

解答：(Ⅰ)略.P的軌跡方程為x2+y2=2.

由①+②得(m+n)2+m2-n2=6，即m(m+n)=3.

評析：三角形雖然是簡單的圖形，但有很多的幾何性質，特別是在特殊的三角形中，如等腰三角形的三線合一，等邊三角形的三邊相等、三角相等，直角三角形的勾股定理，邊角關系和相似三角形的對應邊關系等.熟練運用三角形相關的幾何性質可以巧妙避免“解析法”帶來運算上的困難.

三、與圓相關的幾何性質

1.垂徑定理

2.相交弦定理

例8(2017·全國卷Ⅲ文·20)在直角坐標系xOy中，曲線y=x2+mx-2與x軸交于A,B兩點，點C的坐標為(0,1).當m變化時，解答下列問題：

(Ⅰ)能否出現AC⊥BC的情況？說明理由；

(Ⅱ)證明過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值.

(Ⅱ)設過A，B，C三點的圓與y軸相交于另一個點D(點D在x軸的下方)，根據相交弦定理得|OC|×|OD|=|OA|×|OB|，即有1×|OD|=-x1x2，所以|OD|=2.因此過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為|CD|=|OC|+|OD|=1+2=3，是定值.

評析：圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，蘊藏著諸多的幾何性質，常見的性質有：直徑所對的圓周角為直角、垂徑定理、切線長定理、切割線定理和相交弦定理等.對于解析幾何中涉及圓的問題，若能聯系題中的幾何要素，靈活運用圓的幾何性質，解題往往能事半功倍.如例8中的問題(Ⅱ)用到了圓的相交弦定理，思路巧妙，解法簡單快捷，相比于解析法，極大地減少了運算量.

四、小結反思

解析幾何是建立在坐標系的基礎上，用坐標表示點，用方程表示曲線，用代數方法(解析法)解決幾何問題，解題過程常常會出現繁雜的推理與運算.在平時的學習中，我們也往往偏重于對相關量的數量關系的研究，習慣于代數的推理過程，而忘記解析幾何的本質是“幾何”這一重要特征.