例談分參法在解分段函數問題中的應用

江蘇

由于分段函數特殊的表達形式，使其能夠包含不同的函數模型和函數性質，所以有關分段函數的問題一直備受命題者們的青睞，無論是在高考題中還是在各地模擬題中更是屢見不鮮，常見的考查方向有分段函數零點問題、與復合函數相結合、與分段函數有關的不等式問題等等.一旦考查到了，通常是以中等偏難題出現，學生得分普遍不高，具有較好的區分度.本文選取近年來的部分模擬試題(這里只涉及填空題)，談談如何通過分參去解決相關問題.

1.分段函數零點個數問題

點評：本題分參較為容易，圖象也不難畫，只需正確畫出圖象即可.

點評：對于等式|2f(x)-a|-1=0，只需直接按照絕對值等式的解法去解就可以了，其次要注意y=2f(x)±1是兩個函數，在同一直角坐標系里將這兩個函數圖象畫出即可.

點評：盡管y=f(x)和y=ax都含有參數a，但是并未增加分參的難度，仍然需要注意的是對x=-1和x=2進行單獨討論，其次由于a>0，所以只需要關注x軸上方的圖象.

2.分段函數零點存在性問題

點評：本題與例7類似，但是在作圖時需要注意以下幾點：第一點就是函數h(x)的漸近線，第二點就是函數r(x)與h(x)的交點在r(x)的極小值點的右側.通過觀察圖象再結合具體計算不難得到a的取值范圍.

點評：本題的基本思路同例6，但是注意到題目只需要x<0時有解，所以只需要觀察y軸左側的圖象.

3.有關分段函數不等式問題

點評：不等式問題本質上可以理解為在圖象上方或者下方的問題，進而可以通過函數圖象的交點去解決.

4.其他有關分段函數的問題

點評：考慮如果y=f(x)-g(x)的圖象經過第一象限，則存在x>0，使得f(x)-g(x)>0，即存在f(x)的圖象在g(x)的圖象上方的點，如果y=f(x)-g(x)的圖象經過第四象限，則存在x>0，使得f(x)-g(x)<0，即存在f(x)的圖象在g(x)的圖象下方的點，也就是f(x)和g(x)的圖象在x>0時有交點，同理f(x)和g(x)的圖象在x<0時也有交點，進而本題轉化為有關函數圖象的交點問題.

文中所列舉出的幾種類型大部分條件都是以f(x)=g(x)或f(x)=0的形式出現，解決的思路一般都是通過作出f(x)和g(x)的圖象或者作出f(x)的圖象，再通過觀察函數圖象將問題解決.通過對學生的調查分析發現，學生往往有思路，但是很難做對.究其原因有以下幾方面：對于條件是f(x)=g(x)的形式而言，經常要涉及兩個函數的交點、切點以及圖象的趨勢等等問題，需要學生能夠將兩個函數圖象都畫得非常精確，稍有一些差池可能就會錯過正確答案；而對于條件是f(x)=0的形式，往往會因為對函數f(x)的幾種情形討論不到位而造成錯誤.對于其他類型所導致的問題在此不再贅述.