思維在多解中提升，素養在探究中發展
——一道有關拋物線的阿基米德焦點三角形問題

☉四川省南充高級中學 胡 敏

拋物線的弦與過弦的兩端點的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形.有關拋物線的阿基米德三角形在近年高考、自主招生、競賽以及一些模擬卷中經常出現，且背景各異，常考常新，變化多端，有時以選擇題或填空題的形式單獨出現，有時出現在解答題當中，并與相關的圓錐曲線問題加以交匯與綜合.了解涉及阿基米德三角形的一些知識，對于解決問題很有幫助，也可以在很大程度上拓展知識面.

一、問題呈現

問題（2019屆四川省成都市高三模擬·16）已知F為拋物線C：x2=4y的焦點，過點F的直線l與拋物線C相交于不同的兩點A，B，拋物線C在A，B兩點處的切線分別是l，l，且l，l相交于點P，則的最小值為______.1212

本題中對應的△PAB就是一個特殊的阿基米德三角形.常規的破解方法是利用函數與方程的轉化法來處理，即設直線l的方程為y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），與拋物線C聯立并化簡得x2-4kx-4=0，利用根與系數的關系可得|AB|=y1+y2+p=k（x1+x2）+4，對x2=4y兩邊求導得y′=x，故切線PA的方程為（x-x1），切線PB的方程為（x-x），聯立可解得P點坐標，進而代入2，最后利用導數法、均值不等式法等方法來確定最值.

二、試題解析

解析：設直線l的方程為y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），

結合拋物線的定義可得|AB|=y1+y2+p=k（x1+x2）+2+2=4k2+4，

對x2=4y兩邊求導可得，故切線PA的方程為，切線PB的方程為

解法1：（導數法：涉及含參的函數問題，通過換元思維來構造對應的函數，通過求導，結合導函數為零所對應的零點即函數極值點來確定相應的最值問題，是解決含參函數最值的常見思維.）

解法2：（均值不等式法：對于含參的函數問題，通過相應代數式的配湊，結合代數式的特征，借助三次均值不等式的應用來確定對應的最值問題.利用均值不等式確定最值時，要注意對相應的代數式進行合理且正確的配湊與轉化，這也是解決問題的關鍵所在.）

點評：破解此類問題常規的思維方式就是通過設出對應的直線方程，利用直線與拋物線的位置關系加以轉化，利用函數與方程的思想求解對應的弦長、直線方程以及其他相關的問題，進而利用導數法、三角函數法、基本不等式（或均值不等式）法等來確定其最值，從而得以破解.

三、模型歸納

其實，以上過焦點的弦所對應的阿基米德三角形是一個更為特殊的三角形.過拋物線C的焦點F作拋物線C的弦，與拋物線C相交于不同的兩點A，B，拋物線C在A，B兩點處的切線分別是l1，l2，且l1，l2相交于點P，那么△PAB就稱為阿基米德焦點三角形.

該阿基米德焦點三角形有以下幾個特征：

（1）P必在拋物線C的準線上；

（2）△PAB為直角三角形，且∠P為直角；

（3）PF⊥AB（即符合射影定理）.

利用以上阿基米德焦點三角形的性質，可以更加快速且簡捷地來處理以上問題.

分析1：（焦點弦性質法1：設出直線AB的傾斜角θ，借助拋物線的極徑公式確定|AF|與|BF|的代數式，結合阿基米德三角形的性質并通過直角三角形的射影定理來建立相應的關系式，從而確定|PF|的代數式，再結合均值不等式的應用，利用配湊法來確定的最小值.）

解法1：設直線AB的傾斜角為θ，不失一般性，根據拋物線的對稱性，不妨設

由阿基米德三角形的性質可得PA⊥PB，PF⊥AB，

結合直角三角形的射影定理有|PF|2=|AF·||BF|=即，那么

分析2：（焦點弦性質法2：設出|AF|=m，|BF|=n，結合阿基米德三角形的性質并通過直角三角形的射影定理來建立相應的關系式，進而得到|PF|2=|AF·||BF|=mn，通過拋物線的焦點弦性質的變形與轉化得到m+n=mn，進而通過均值不等式的應用，利用配湊法來確定的最小值.）

解法2：由阿基米德三角形的性質可得PA⊥PB，PF⊥AB，

設|AF|=m，|BF|=n，則有|AB|=m+n，

結合直角三角形的射影定理有|PF|2=|AF·||BF|=mn，

則有|AB|=|PF|2=mn，

即mn=16時取等號，

點評：有關拋物線的焦點弦的相關性質的結論是我們比較熟悉的，通過這些結論并結合阿基米德三角形的性質，可以有效提升解題速度，提高解題效益.

四、總結歸納

其實，除了在拋物線中存在阿基米德三角形及其相關的結論外，橢圓與雙曲線中也有類似的阿基米德三角形問題.綜合而言，在圓錐曲線中都存在著對應的阿基米德三角形，圓錐曲線的弦與過弦的兩端點的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形.阿基米德三角形還有很多其他的性質，可以通過網絡查找一些相關的性質，對于發展與拓展學生的知識面與思維很有幫助，從而真正地提升深入學習的寬度與深度，提高數學效益，培養數學素質，提升思維品質.F