利用幾何畫板輔助中學數學變式教學芻探

劉燕平

摘 要：變式教學即教師通過保留命題本質特征和核心思想，合理改變命題條件的呈現形式，讓學生多方位、多角度、深層次地理解問題本質屬性的一種教學方式。文章結合具體教學案例，論述幾何畫板在中學數學變式教學中的獨特作用，如動態演示過程、節約時間成本、揭示數形關系，旨在為中學數學教師開展變式教學提供借鑒。

關鍵詞：幾何畫板;變式教學;中學數學;教學方式;教學質量

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1008-3561（2019）16-0027-02

建構主義理論認為學習是學習者主動建構的過程，教師應以學生原有的認知結構為基礎引導學生主動學習。變式教學強調通過保留命題本質特征和核心思想，合理改變命題條件的呈現形式，讓學生多方位、多角度、深層次地理解問題本質屬性，這對提高學生的自主能動性和思維能力有著顯著作用，能夠有效地體現新課程標準所提倡的從傳統的“重結果”轉變為“重過程”的教學思想。新課程標準提出將現代信息技術引入中學數學課堂，而幾何畫板具有函數繪圖、動畫演示、迭代等多項功能，生動直觀，版面簡潔，易于操作，能夠有效輔助中學數學教師開展變式教學。本文結合具體案例，論述幾何畫板在中學數學變式教學中的獨特作用，為教師利用幾何畫板輔助數學變式教學提供借鑒。

一、動態演示過程，加強性質把握

一般來說，一個數學概念根據不同的角度、層次、情境或是參數的變化等往往具有多重性質，而學生對這些性質的理解與掌握，通常要經歷反復練習、反復思考的過程。教師通過變式教學將概念的本質保留，從各個側面給學生介紹概念的性質，能讓學生加深對概念的理解，加強對概念性質的把握。幾何畫板區別于傳統課堂講解，不僅能夠描繪函數圖像，還能通過相關操作，對改變命題的某些條件作出快速反應，給出圖像的初始狀態和最終結果，并且能夠將圖像的變化過程呈現出來，加速和加深學生的理解，達到變式教學的目的。

案例1：探究二次函數f（x）=a（x-h）2+k的圖像分別隨a、h、k變化的規律。

在幾何畫板中，教師利用繪圖功能繪制出二次函數f（x）= a（x-h）2+k的圖像（如圖1），將a、h、k的大小分別通過移動直線上的A、H、K三點來控制。移動直線上的點，改變參數a、h、k的大小，觀察函數的圖像變化。

在這個案例中，通過幾何畫板的動態演示，教師能夠快速地將二次圖像參數變化的性質呈現給學生，學生也能直觀形象地觀察到每一個參數變化帶來的函數圖像的變化，從而在頭腦中形成一個整體的、具體的印象。這對學生理解和把握二次函數圖像及其性質具有重要意義。

二、節約時間成本，提升課堂效率

數學變式教學有時需要改變命題的一個或幾個條件，這時對應的圖像也會發生改變。傳統的黑板作圖需要耗費一定的時間，大大降低課堂教學時間的利用效率。而教師通過幾何畫板作函數圖像和幾何圖像，再經過適當處理，如用鼠標拖動點、增減線段、迭代等，就能達到變式的目的。下面，筆者通過一個案例說明利用幾何畫板作圖的靈活性和快速性。

案例2：已知點D為△ABC內一點，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點（如圖2a），求證四邊形EFGH為平行四邊形。

變式：若點D在AC外側，其他條件不變（如圖2b ），原結論是否成立？

在這個案例中，教師課前在幾何畫板中畫出原式的圖形，課堂呈現時只需根據題設條件，用鼠標拖動點D就能得到變式之后的圖形，方便快捷，比傳統的黑板作圖效率顯著提高。

三、揭示數形關系，提升思維水平

數與形是中學數學研究的兩大基本對象，數形結合就是將抽象的數量關系與直觀的幾何圖形結合起來，建立對應關系，通過數與形的相互轉化，達到“以數解形”“以形助數”的效果。數形結合是一種重要的數學思想方法，貫穿于中學數學變式教學之中。傳統教學方式由于受到一些條件的限制，很難將抽象的數量關系與直觀的幾何圖形完美結合。幾何畫板憑借其強大的功能，很大程度上彌補了這一不足，能夠變抽象為具體，化靜為動，同步反映數與形的變化，展現數量關系中蘊含的幾何意義，為學生構建一個探究平臺，幫助學生深刻理解知識、完善認知結構、優化思維品質。

案例3：在等腰直角△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，點D、E、F分別是AC、AB、BC上的動點，若要使得四邊形BEDF構成矩形，則矩形的面積最大為多少？

變式：在等腰直角△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，點D、G是AC上的動點，E、F分別是AB、BC上的動點，若要使得四邊形DEFG構成矩形，則這個矩形的面積最大為多少？

下面嘗試在幾何畫板中解決這個問題。首先，教師在幾何畫板中將這個三角形及其邊上的動點構成的矩形構造出來。可以看到，這個矩形的面積隨著點D的移動而改變。因此，以點D為突破口，設AD=x，則原式中矩形的面積為y=5x-x2/2，繪制點P（x，y），運用追蹤動點構造軌跡功能直觀演示D點運動過程中P的軌跡（如圖3a）。在變式中，同樣設AD=x，矩形DEFG的面積為y=10x-2x2，在幾何畫板中進行類似的操作就能將問題順利解決（如圖3b）。教師通過引導學生對同類題型進行反復練習，在幾何畫板中結合數與形探索解題的全過程，并將解題思路和解題過程完整、動態地呈現給學生，能夠豐富學生的想象力，活躍學生的思維。

四、結語

總之，變式教學是一種行之有效的數學教學方式，幾何畫板作為一種輔助性教學手段在中學數學變式教學中有著獨特的作用。借助幾何畫板輔助中學數學變式教學，是對傳統課堂教學的有力補充，能夠動態演示過程，節約時間成本，揭示數形關系，從而降低學生的認知負荷，優化學生的認知結構，提高中學數學課堂教學效率和教學質量。

參考文獻：

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