淺談如何培養學生的數學思維能力

李影飛

中國航天之父錢學森教授曾經說過：“教育工作的最終機智在于人腦的思維過程。”思維活動的研究，是教學研究的基礎。數學教學與思維的關系緊密相連。數學教學實際上就是在教師的指導下，通過思維活動，學習數學家思維活動的成果，并發展數學思維，使學生的數學思維結構，向數學家的數學思維結構轉化的過程。因此，對數學思維的研究，是數學教學研究的核心。

一、激發學習興趣，調動學生數學思維的積極性

教育心理學認為：興趣是力求認識和接觸某種事物的傾向。事實證明，興趣是提高學生學習興趣的內驅力，也是思維發展的前提條件。只有學生對某一事物發生興趣，才會積極動腦筋想辦法去探討和研究它。根據這一心理學特點，教師在教學中應該盡量提一些學生感興趣的具有思維性的問題，激發學生的學習興趣和求知欲望，促使他們動手、動腦，主動探究，從而達到培養他們數學思維能力的目的。

例如，在教學“雞兔同籠”時，由于這個知識相對于學生來說比較抽象，學生不好理解，需要較強的思維能力作支撐。為了更好地為新課學習做好鋪墊，激發學生的學習興趣，做好積極思維的預熱，在探究新知之前我特意設計了四組闖關題，并以學生喜聞樂見的動畫形式顯示出來：

第一關： 一只雞有（）個頭，（）條腿;

一只兔有（）個頭，（）條腿。

第二關：2只雞和2只兔共有（）個頭，（）腿。

7只雞和3只兔共有（）個頭，（）腿。

第三關：用表示雞或兔的頭，用表示腿，按要求給雞或兔畫上頭和腿。

第四關：根據下列所給的腿的總數，用鼠標拖動相應的雞或兔。（八只腳）

上述的四個闖關活動，難度由淺到深，層層遞進，既有效地激發了學生的學習興趣，又巧妙地激起了學生思維的動機，使他們沉浸在積極思考的探索中，為新知的探究奠定了堅實的思維基礎。

二、做好形象思維和抽象（邏輯）思維的轉化

形象思維與抽象思維是兩種基本的思維方式，人類從事各種活動，往往需要對兩種思維方式協同使用。對于數學學習活動來說，亦是如此。專家的大腦中有著豐富的形象貯備，在解決數學問題時，他們總是先根據問題情景構建出清晰的數學圖象;盡可能利用圖形來反映題目中的數量關系;善于在頭腦中對有關形象進行分析、比較、類比、整合，做到數形結合。所以，專家往往對問題的形象有著較強的直感能力。而一般人的大腦中，形象的貯備相對貧乏，他們在解決數學問題時，不善于從形象上去把握問題，不善于把形象思維和抽象思維融會貫通，一接觸到問題，就企圖立即建立有關的求解方程，其結果往往是欲速則不達。因此，在數學教學中，教師要善于引導學生溝通形象思維和抽象思維的內在聯系，加強兩者之間的互相轉化，發展學生的數學思維。

北師大版數學教材五年級上冊的《點陣中的規律》屬于新課程標準中的“嘗試與猜測”這部分內容，是《標準》中的數形結合思想在教材中的具體體現，它從“中國古代名題”延伸到“普遍聯系找規律”， 引導學生通過觀察、推理等活動，在生動的情景中找出圖形的變化規律，從形象思維入手，逐步溝通過度到抽象思維，從而將數形結合在一起。教學時，我先出示四個正方形點陣：

我啟發學生思考：“圖中有幾個點陣，每個點陣各有幾個點？”“怎么數得這樣快？有竅門嗎？” 學生經過觀察和思考，很快會說：“用算式算出來的。”教師根據學生的回答，板書第一組算式：

這樣，一個“算”字，學生的思維初步實現由“形”——“數”的轉換。接著，我說：“這種數法真是又快又方便！照這樣下去，第五個點陣有多少個點呢？第六個呢？第七個？八個？……第100個呢？” 有了前面的鋪墊，學生很容易就總結出“第幾個點陣就用幾乘幾”，也有的學生會說，“第幾個點陣就是幾的平方。”

接著，我再引導學生從另一個角度去思考（電腦演示一下圖形）：

“斜著看又可以得到什么新的算式呢？”讓學生獨立思考，得出算式，然后匯報。我根據學生的回答板書：

并讓學生說說“誰發現了什么規律？” 引導學生得出“如第2個點陣就從1加到2再加回來，第3個點陣就從1加到3再加回來，第4個點陣就從1加到4再加回來”。“第幾個點陣就從1連續加到幾，再反過來加回到1”這個規律。

緊接著，我再次設疑：“剛才同學們發現了點陣中的兩個規律，這些點陣中還有其它的規律嗎？還能換個角度去思考嗎？”（課件演示）

學生經過思考，列出算式，并得出“幾個點陣就從1開始加幾個連續奇數”的規律。在這里，教師不是讓學生思維之旅就此結束，而是把上面的幾組算式進行整合（課件顯示）：

三、落實收斂思維和發散思維的辯證統一

收斂思維也是創新思維的一種形式，與發散思維不同，發散思維是為了解決某個問題，從這一問題出發，想的辦法、途徑越多越好，總是追求還有沒有更多的辦法。而收斂思維也是為了解決某一問題，在眾多的現象、線索、信息中，向著問題一個方向思考，根據已有的經驗、知識或發散思維中針對問題的最好辦法去得出最好的結論和最好的解決辦法。收斂思維與發散思維，如同“一個錢幣的兩面”，是對立的統一，具有互補性，不可偏廢。實踐證明：在教學中，既重視培養學生發散思維，又重視收斂思維的培養，才能較好地促進學生思維發展，提高學習能力，培養高素質人才。

教學實踐經驗告訴我，訓練發散性思維的最佳方法是開展研究型學習。改變傳統的學習模式，每遇到一個問題時，首先以這個問題為中心，展開思路去尋求不同的解題方法。例如，在學習了《路程、時間與速度》一課后，我出示了這樣一道思維訓練題：“從我家到學校的路程是 600 米，我步行的速度是 60 米/分，我從家出發步行 9 分鐘能否到達學校？（你有多少種方法呢？）”根據一般的思維習慣，很多學生會用“時間=路程÷速度”的方法求出“從我家到學校所需的時間”再行判斷。在這里，我特意加上一句話“你有多少種方法呢？”目的在于引導學生發散思維，運用不同的思路進行解題。在我的啟發下，最終學生能分別從路程、時間、速度三個方面進行比較，確定“我是否能在9分鐘內到達學校”。

四、加強正向思維和逆向思維的互化

所謂正向思維，就是人們在創造性思維活動中，沿襲某些常規去分析問題，按事物發展的進程進行思考、推測，是一種從已知進到未知，通過已知來揭示事物本質的思維方法。逆向思維則是對司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點反過來思考的一種思維方式。人們習慣于沿著事物發展的正方向去思考問題并尋求解決辦法。其實，對于某些問題，尤其是一些特殊問題，從結論往回推，倒過來思考，從求解回到已知條件，反過去想或許會使問題簡單化。于數學學習來說，把正向思維和逆向思維緊密聯系在一起，加強兩者的內化，能幫助學生深刻理解題意，提高數學思維能力。

例如，“小明有14張郵票，送給妹妹3張，爸爸又給他買5張，小明現在有多少張郵票？”這是一道簡單的兩步計算的應用題，按順向數量關系列式為14-3+5=（）。可以轉化為“小明若干張郵票，送給妹妹3張，爸爸又給他買5張，這時小明有14張郵票，小明原來有多少張郵票？”轉化后的數量關系是（）-3+5=14。但這個問題必須把這個數量關系逆轉為14-3+5=（）才能解決。又如判斷題“鈍角都大于90°”在學生作出正確判斷以后，把題目改為“大于90°的都是鈍角。”引導學生從正反兩個方面進行分析、比較、判斷，既拓展了學生的認知領域，也有效提高思維的能力。

責任編輯 徐國堅