代數思維：在進階性抽象中逐步豐滿
——《字母表示數》教學設計

何 敏 吳恢鑾

【教學內容】

北師大版四年級下冊第61～63 頁。

【教學過程】

一、喚起經驗、導入新課

師：大家認識哪些英文字母，在生活中哪些地方運用了字母？

預設：CCTV 表示中國中央電視臺，是China Central Television 的縮寫。在長度單位中，km表示千米，m 表示米，cm 表示厘米。撲克牌中，有用字母表示數的，比如用A 表示1，Q 表示12。

師：字母可以比較簡潔地表示特定的地方、單位等等的事物名稱，還可以表示特定的數。老師這里有個數列“2、4、6、x、10……”這里的x 表示什么意思？

預設：表示8。

師：撲克牌和數列中的字母表示的是一個特定的未知數，那么字母還可以表示哪些數？如何用字母來表示數？為什么要用字母來表示未知數？通過今天的學習，希望同學們能更加全面地認識“字母表示數”的意義。

【設計意圖：通過談話，喚醒學生已有關于字母表示特定事物名稱與特定數的經驗，一般四、五年級的學生都能達到這個認識水平。除此之外，字母還可以表示哪些數？如何用字母來表示數？為什么要用字母來表示未知數？這三個問題構成了新知探索的三個“核心問題”，即知識是什么、怎么用、為什么。在導入環節，就讓學生明確了學習方向與目標，有利于學生深入學習。】

二、自主探究、理解意義

任務1：含有字母的式子可以表示數量關系和結果。

師：老師和小明在討論他們年齡之間的關系。觀察表格你發現了什么？你是從哪兒發現的？

?小明的年齡/ 歲 老師的年齡1 1+24=25 2 2+24=26 3 3+24=27/ 歲…… ……

預設：老師比小明大24 歲，從算式1+24、2+24、3+24 發現的。

師：假設小明年齡是（ ）歲，那么老師年齡是（ ）歲。

預設：假設小明年齡是12歲，那么老師年齡是36 歲或12+24 歲。

追問：12+24 也能表示老師的年齡嗎？

預設：假設小明年齡是a 歲，那么老師年齡是a+24 歲。

師：比較12 和a 有什么不同？a 和a+24 有什么關系？請同桌交流。

預設：12 只能表示小明具體的年齡，a 能表示小明任何一年的年齡。a 能表示小明的年齡，a+24 能表示老師的年齡。我從a+24中，還看出老師的年齡比小明大24 歲。

師：如果用a 來表示老師的年齡，那小明的年齡怎么表示？

預設：a-24。

小結：a+24、a-24，字母式不僅可以表示年齡，還可以表示兩人年齡之間的數量關系。

師：用a+24 還可以表示什么？請同學們編一編題。（同桌交流）

預設：小紅有a 元錢，小明比小紅多24 元，求小明有多少元？

預設：小剛有a 顆彈珠，小李比小剛多24 顆，求小李有多少顆？

【設計意圖：用字母表示數和數量關系是本節課的重點。借助學生熟悉的年齡問題，教師設計了三個問題串：小明和老師年齡有什么關系？假設小明（）歲，老師年齡怎么表示？a 和a+24 有什么關系？讓學生進一步明確了字母不僅可以表示數，還可以表示數量關系，從字母式中也能看出數量關系。讓學生根據a+24 來編題，培養學生從一般到具體的思維能力。】

任務2：感悟用字母表示數的必要性與概括性。

師：這節課，老師還為大家帶來一首耳熟能詳的兒歌（課件播放兒歌）：

1 只青蛙1 張嘴，2 只眼睛4條腿；2 只青蛙2 張嘴，4 只眼睛8 條腿……

師：這樣數下去，能唱完嗎？能不能用一句話把這首兒歌唱完？（出示讓學生自主創作的要求：填上合適的數或字母，填好后小組交流為什么這樣填）

（ ）只青蛙（ ）張嘴，（ ）只眼睛（ ）條腿。

預設會出現如下幾種情況，教師安排以下順序進行反饋：

預設1：（1 億）只青蛙（1 億）張嘴，（2 億）只眼睛（4 億）條腿。

預設2：（a）只青蛙（b）張嘴，（c）只眼睛（d）條腿。

預設3：（a）只青蛙（a）張嘴，（c）只眼睛（d）條腿。

預設4：（x）只青蛙（x）張嘴，（2x）只眼睛（4x）條腿。

師：2x 和4x 表示什么意思？

（學生說清楚含義后，教師可適當介紹字母簡寫的規則和方法）

（讓四位學生分別闡述自己的想法，暴露學生真實的認知思維，在交互學習中，可以促進學生對用字母表示數的認識）

預設1：用“億”做單位，這首兒歌可以播放好久，下課了也播放不完。（該類學生的思維還停留于用具體的大數代表“變化的數”狀態）

預設2：我不認同上面的觀點，雖然“億”很大，但還是可以唱完的，如果是2 億只青蛙怎么辦呢？用字母a 表示青蛙只數，b 表示嘴的張數，c 表示眼睛的數量，d 表示腿數，不管哪種情況都包括了。

預設3：上面的方法還可以改進一下，因為青蛙的只數和嘴的張數是一樣的，我認為可以用同一個字母表示。

預設4：我認為還可以改進，不僅青蛙的只數和嘴的張數可以用同一個字母表示，而且眼睛的只數總是青蛙只數的2 倍，腿數是青蛙只數的4 倍，所以，可以用一個字母表示出它們的關系。

師：剛才四位同學闡述了自己的觀點，而且還能分析其他方法的優缺點，非常善于思辨。那大家更認同哪種方法呢？（大多數學生認同方法4）請大家再想一想，方法4 有什么好處？

預設：方法4 可以用一個字母表示出四個未知數，太厲害了。

師：想一想，為什么這句話只有一個字母就能表示清楚了呢？

預設：因為青蛙的只數和嘴的張數一樣，青蛙的眼睛只數是青蛙只數的2 倍，青蛙的腿數還是青蛙只數的4 倍，所以可以用一個字母。

（板書：青蛙只數=嘴的張數；青蛙只數×2=眼睛的只數；青蛙只數×4=腿數）

師：字母能表示確定的數，也能表示不確定的數。四個未知數，如果有這樣的數量關系，用一個字母也能表示清楚，那就用一個字母來表示出它們之間的關系。

師：想一想這里除了可以用x表示外，還可以用哪些字母表示？這里的字母x 可以表示哪些數？

預設：還可以表示1、2、3……只要是自然數就行。

師：看來，這里的字母表面上看只是一個字母，但它實際上是無數個數。同學們能想出用字母表示“不確定的數”真了不起。

【設計意圖：愛因斯坦說過：“教育應該是提供的東西讓學生作為一種寶貴的禮物來享受，而不是作為一種艱苦的任務要他負擔。”“唱兒歌”游戲，喚起學生的主體意識，有利于誘導不同思維層次的學生自主進入探索狀態。四位學生不同的表征方式代表了四類認知水平，教學立足于學生的學情，通過交互性學習，學生在思辨、碰撞的過程中逐步體驗到用字母表示數的必要性與概括性，體驗到如果有彼此聯結、存在等量關系的多個未知數，可以用一個字母表示。這個發現源于學生的主體體驗與探究，所以能觸動其思維，使其印象深刻，這就是基于思維的深度學習。】

三、鞏固應用，完善建構

練習1：

（1）仙桃是四川瀘定的特產，長在懸崖峭壁之上，因香甜濃郁、入口爽滑而著名，當仙桃成熟的時候，人們爭相購買，每個仙桃2元，m 元能買___個。

（2）一千克櫻桃4 元，x 千克櫻桃共___元。

練習2：參觀完水靈動漫城后，有位同學記錄下了章魚個數和腿的條數。你能幫他把記錄表補完整嗎？

章魚個數 1 2 3腿的條數 8 16 24

問題1：你有什么好的記錄方法？

問題2：想一想n 可以取哪些數？當n=15 時，8n 是多少？n表示什么意思？

問題3：如果用n 表示腿的條數，章魚的個數該怎么表示？

【設計意圖：通過練習1 幫助學生及時鞏固用字母表示數與數量關系，完善字母式不僅可以表示和、差、積的關系，也可以表示商的關系。練習2 讓學生進一步鞏固字母可以表示變化的量，并初步學會求值。】

四、回顧總結（略）