變量線下面積法在高中物理解題中的應(yīng)用

張孟琦 黃薦

【摘要】物理是對(duì)生產(chǎn)生活現(xiàn)象的解釋，在高中階段由于沒(méi)有學(xué)習(xí)微積分知識(shí)，致使高中生對(duì)某些抽象的物理問(wèn)題不僅存在解題困難，更主要的是不易理解題面的內(nèi)涵及物理意義。為此利用變量線下面積對(duì)典型高中物理問(wèn)題進(jìn)行解釋，并利用變量線下面積法進(jìn)行求解分析，可為高中學(xué)生加深對(duì)物理知識(shí)的理解，培養(yǎng)物理學(xué)習(xí)興趣提供幫助和參考。

【關(guān)鍵詞】物理 變量 線下面積法

【中圖分類號(hào)】G633.7 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2019）33-0190-02

文字、公式、圖形是物理學(xué)中的三大表達(dá)方式，特別在高中階段由于學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較薄，借助圖形手段進(jìn)行復(fù)雜問(wèn)題求解是非常有效的手段，圖形可以使復(fù)雜的、動(dòng)態(tài)的物理過(guò)程變得更加直觀。

一、線下面積法求解運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題

在實(shí)際產(chǎn)生和生活中存在很多現(xiàn)象都是1個(gè)或1個(gè)以上變量在時(shí)間上累計(jì)的結(jié)果，如速度和位移之間的關(guān)系。勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程是速度和時(shí)間的乘積，即S=V0·t，如圖1（a）。對(duì)于初始速度為V0，加速度為a的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，可以將時(shí)間t分成n段，在每段內(nèi)速度近似不變，則在時(shí)間t時(shí)，路程為S=·V，如圖1（b）；當(dāng)n取得足夠多，即△t=足夠小，有S=V0·t+a·t2，如圖1（c）。由此可知直線運(yùn)動(dòng)的路程為V-t圖中某一時(shí)刻速度與坐標(biāo)軸所包圍的面積，對(duì)更加復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題也可用線下面積法求解位移，如圖1（d）。

二、線下面積法求解力對(duì)物體做功問(wèn)題

力對(duì)物體做功問(wèn)題也可以采用線下面積法求解。力對(duì)物體所做的功為力與力作用方向上物體位移的乘積，即W=F·S，作用在物體上的力F和物體的位移S可能都是隨時(shí)間變化的，此時(shí)如圖1所示的簡(jiǎn)單面積法就無(wú)能為力了。嚴(yán)格意義上力對(duì)物體所做的功可以用外力F（t）、物體在力作用方向上的速度V（t）和作用時(shí)間t的積分表示，即：

W（t）=F（t）·S（t）dt=F（t）·V（t）·tdt （1）

如果F（t）和V（t）中某一項(xiàng)是不變的或者隨時(shí)間線性變化的，則有V（t）=V0+a·t，代入式（2）得

W（t）=F（t）·（V0+a·t）dt （2）

對(duì)于F（t）和V（t）都是不變的，則力對(duì)物體所做的功如式（3）和如圖2（a）所示。

W=F·S=F·t×V=F·t×V=AF·V=F×V·t=F·AV （3）

如果作用在物體上的力F（t）是變量，物體仍做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則力F（t）對(duì)物體所做的功如式（4）和圖2（b）所示。

W=F（t）（V0+at）dt=V0·F（t）dt+a·F（t）tdt

=V0·AF+a·tc·AF=（V0+a·tc）·AF=hc·AF （4）

如作用在物體上的力F（t）是恒定的，即F（t）=F，物體仍做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則F對(duì)物體所做的功如式（5）和圖2（c）所示。

W=F（t）（V0+at）dt=V0（F·t）+a·t·（F·t）=AF（V0+a·t）（5）

由此可知：對(duì)于2個(gè)變量x和y在時(shí)間上累計(jì)的問(wèn)題，可以采用x變量的線下面積Ax與x變量線下面積相對(duì)應(yīng)的y變量高度hyc的乘積來(lái)計(jì)算，如式（6）所示，該方法的適用條件是兩個(gè)變量中有一個(gè)變量隨時(shí)間線性關(guān)系變化。

三、線下面積法求解碰撞問(wèn)題

棒球運(yùn)動(dòng)中球棒擊打棒球，車輛追尾，臺(tái)球運(yùn)動(dòng)中兩個(gè)球之間的碰撞等都屬于碰撞問(wèn)題，其特點(diǎn)是碰撞力是隨時(shí)間變化的，先增大后減小，對(duì)于此類現(xiàn)象求解最大碰撞力也可以采用線下面積法。

例：架設(shè)臺(tái)球的質(zhì)量為170g，白球以9m/s的速度撞擊另一球后，白球靜止，另一球以9m/s的速度運(yùn)動(dòng)，假設(shè)碰撞力先從0線性增大到最大值后再線性降到0，碰撞過(guò)程兩球的接觸時(shí)間為0.03s，球兩球碰撞時(shí)的最大碰撞力是多少？

析：該題沒(méi)有給出碰撞力發(fā)生的最大時(shí)間，只是給出了總的碰撞接觸時(shí)間為0.03s，常規(guī)解法比較困難，如果利用線下面積法就比較直觀，如圖3所示。碰撞力隨時(shí)間呈三角形變化，碰撞過(guò)程中一個(gè)球的動(dòng)量變化量為碰撞力的線下面積，由此得：

四、結(jié)論與心得

物理是一門應(yīng)用性較強(qiáng)的學(xué)科，在高中階段對(duì)于比較抽象的物理問(wèn)題如果生背硬記教材上的定理公式，不僅理解深度不夠，而且在解題過(guò)程中也可能遇到一些困難。借助圖像法可以加深對(duì)對(duì)高中物理問(wèn)題的理解，運(yùn)用變量的線下面積求解較抽象復(fù)雜的問(wèn)題有助于提高物理學(xué)習(xí)興趣和能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]崔偉健.高中物理圖像中“面積”的意義和應(yīng)用[J].物理之友，2018（08）：43-45.

作者簡(jiǎn)介：

張孟琦（2001-），女，滿族，吉林伊通人，高中在校學(xué)生。

黃薦（1989-），男，漢族，四川南充人，博士生，研究方向：工程力學(xué)。