圓錐曲線離心率與相交直線斜率關系的探究

山東省聊城大學數學科學學院 (252000)

王曉卿

圓錐曲線問題是高考的必考內容，本文以2018年新課標全國卷Ⅲ(理數)的第20題為例，深入探究圓錐曲線的離心率與相交直線斜率的關系問題.

一、初步探究

對第(1)問，筆者給出兩種證法.

證法1：(聯立方程組，利用韋達定理求證)

整理可得(4k2+3)x2+8kbx+4b2-12=0.

證法2：(將點的坐標代入方程，化簡求證)

設A,B兩點的坐標分別為A(x1,y1),B(x2,y2)，將A,B兩點坐標代入橢圓方程，得

二、深入探究

將上述發現推廣到一般情況，可得到如下定理.

圖1

圖2

三、探究應用

下面以2015年新課標全國卷Ⅱ(理數)第11題為例，進一步說明以上定理在解決有關圓錐曲線的離心率與相交直線斜率的題目中的應用.靈活運用以上結論，可以簡化做題步驟，提高做題速度.

例題已知A,B為雙曲線E的左右頂點，點M在曲線E上，ΔABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為( ).

圖3