三角函數與二次函數的綜合問題

張啟兆

我們在《必修1》中曾經遇到過指數函數、對數函數與二次函數的綜合問題，運用類比學習的方法，我們可以研究三角函數與二次函數的綜合問題.

一、三角函數伴隨在二次函數里

二次函數身份明顯，但在二次函數的系數或常數項中含有三角函數，此類問題不難，但要注意三角函數的有界性.可謂是二次函數搭橋，三角函數唱戲.

在上題中，通過換元，將問題轉化為二次函數問題求解，這種處理手法并沒有改變原題的結構特征，但能達到優化解題途徑、簡化計算的目的，值得注意的是，換元時要及時、準確地求出新變量的范圍，不能縮小也不能擴大，

當然，有時會遇到所給三角函數名稱不統一的情形，只需充分運用同角三角函數的關系，適當變形，統一函數名，再進行換元求解.

分析 （l）遇到所給三角函數名稱不統一的情形時，先運用同角三角函數關系加以轉化，統一函數名后，再進行換元，從而轉化為二次函數問題求解;

（2）類比第（1）小題的思路，轉化為二次函數在閉區間上的最值問題，由于是動軸定區間，所以要分類討論;

（3）類比第（2）小題的思路.

評注 1. f（x）=- sin²x+ asinx+1就是將二次函數問題加了個外包裝，將問題移至三角背景中去研究，實際上還是二次函數的問題.

2.換元法是個“法寶”，換元后一定要及時求出新變量的范圍，不能縮小也不能擴大.

3.用分類討論思想求二次函數的動軸定區間的最值問題時，借助圖象數形結合，可起到事半功倍的效果.

上述三角函數“新瓶”灌裝的二次函數“舊酒”，體現了數學特有的數、式、形的相互轉換，其背后更深層次的內涵是轉化化歸思想，將未知的、陌生的、復雜的問題轉化為已知的、熟悉的、簡單的問題。