淺談導(dǎo)數(shù)的作用

梁大軍

摘 要：導(dǎo)數(shù)這一知識點(diǎn)是我們從高中時(shí)就開始接觸學(xué)習(xí)的，在高中的知識體系中占有重要作用，在大學(xué)里它還是微積分中的一個(gè)重要概念，新課改要求學(xué)生能夠熟練掌握導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識及其應(yīng)用，本文利用導(dǎo)數(shù)的概念和相關(guān)性質(zhì)，談一談導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)函數(shù)和物理中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù);函數(shù);物理;應(yīng)用

眾所周知，導(dǎo)數(shù)的概念是牛頓、萊布尼茲等數(shù)學(xué)家在解決一些實(shí)際問題的過程中歸納、提煉出來的，是對客觀世界中某種數(shù)量關(guān)系的精確描述.本文利用導(dǎo)數(shù)的概念和相關(guān)性質(zhì)，談一談導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)函數(shù)和物理中的應(yīng)用.

一、導(dǎo)數(shù)的概念和性質(zhì)

（1）定義1[1]：假設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義，自變量在Δx=x-x0，函數(shù)相應(yīng)的增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0），若極限

存在，則稱此函數(shù)f（x）在x0處可導(dǎo)，并稱其極限值為函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)或微商，記作f’（x0）.假如上述極限不存在，那就說函數(shù)f在x0不可導(dǎo).

定義2[2]（a）函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)右領(lǐng)域上有定義，若右極限

存在，則稱這個(gè)極限值為y=f（x）在x0的右導(dǎo)數(shù)，記作.

（b）與右導(dǎo)數(shù)類似，函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)左領(lǐng)域上有定義，若左極限

存在，則稱這個(gè)極限值為y=f（x）在x0的左導(dǎo)數(shù)，記作.（a）和（b）統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù).

（2）性質(zhì)1若y=f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù).

性質(zhì)2可導(dǎo)的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù);可導(dǎo)的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù).

性質(zhì)3可導(dǎo)的周期函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)仍是周期函數(shù)，且周期不變.

二、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用

1、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)中一個(gè)最重要的知識點(diǎn)就是函數(shù)的單調(diào)性，這也是高考中最重要的一個(gè)考點(diǎn)，接下來利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性.

定理3假設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則

（1）如果在（a，b）內(nèi)，恒有f'（x）>0，那么f（x）在此區(qū)間內(nèi)是單調(diào)增函數(shù);

（2）如果在（a，b）內(nèi)，恒有f'（x）<0，那么f（x）在此區(qū)間內(nèi)是單調(diào)減函數(shù);

（3）如果在（a，b）內(nèi)，恒有f'（x）=0，那么f（x）在此區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù).

2、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的凹凸性及拐點(diǎn)

目前，對判斷函數(shù)凹凸性以及拐點(diǎn)有很多的結(jié)論，接下來重點(diǎn)介紹函數(shù)的凹凸性.

定理5若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上存在二階導(dǎo)函數(shù)f''（x）

1）如果對任意x∈（a，b），有f''（x）>0，則函數(shù)y=f（x）在（a，b）內(nèi)是凹的;

2）如果對任意x∈（a，b），有f''（x）<0，則函數(shù)y=f（x）在（a，b）內(nèi)是凸的.

三、導(dǎo)數(shù)在物理中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用十分廣泛，在物理中也處處都有導(dǎo)數(shù)的存在，只要對相應(yīng)問題建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，然后就可以利用導(dǎo)數(shù)來解決.在歷史上求變速直線運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度以及加速度這個(gè)問題，是一個(gè)非常經(jīng)典的利用導(dǎo)數(shù)來求解的問題.比如瞬時(shí)速度就是路程對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，加速度就是瞬時(shí)速度對時(shí)間的導(dǎo)數(shù).

之前初中時(shí)學(xué)過怎么求勻速直線運(yùn)動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)速度，表示平均速度，s表示位移，t表示時(shí)間，那么，

然而當(dāng)物體做變速運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度就不是一成不變的，而是時(shí)刻變化的，那么此時(shí)就要求這瞬間的速度，也就是瞬時(shí)速度.

當(dāng)越小，平均速度就越接近物體在t0時(shí)的瞬時(shí)速度，所以我們就用→0時(shí)的極限

來定義t0時(shí)的瞬時(shí)速度7].

綜上所述，當(dāng)t=1時(shí)物體的瞬時(shí)速度為6m/s.

參考文獻(xiàn)

[1]上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系.微積分上冊[M].上海交通大學(xué)出版社，2002.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析上冊[M].北京：高等教育出版社，2001.