莫愁高考無途徑，復習例題皆有數

摘 要：本文針對高中數學課本例題與高考數學的真題之間的聯系展開討論，主要表達高考數學真題源于課本，卻高于課本的理念，提出學生備考時應該回歸課本的復習建議。本文的目的在于，給老師和學生們一些關于高考備考的思路與啟發，希望能起到拋磚引玉的作用。

關鍵詞：高考數學;課本例題

高考一直是高中教育關注和重視的焦點，因為它符合我國的應試教育的特點，也具有選拔學生的能力。隨著教育理念的不斷發展，高考對學生的考察目的也在與時俱進地發生著改變，不僅要求學生的基礎知識足夠扎實，還要求學生具有較高水平的核心素養，高考數學亦是如此[1]。通過對課本例題和近幾年高考真題的分析與探討可以發現，不管高考數學如何更改題型和內容，課本的例題始終是高考原題的基礎，因此學生備考時應抓住關鍵部分，理解并充分利用好課本中的例題。

一、例題深析

課本中的例題、習題以及課后思考題都是根據新課程標準的要求選取的題目，具有典型性和實用性，值得學生和老師進行深入研究。平時的學習中，師生一定要重視課本例題的研究，充分挖掘題目的內涵，發現相互之間的聯系，再做到深挖背景、重復利用，就能達到事半功倍的效果。以高中數學人教版選修2-1中p70例5：如圖，

過拋物線y2=2px的焦點F的直線與拋物線相交于A、B兩點，通過點A與拋物線頂點的直線與拋物線相交于點D，求證直線DB平行于拋物線的對稱軸。教材中的解法為：第一步建立坐標軸，以拋物線的對稱軸為x軸，頂點為原點，建立直角坐標系，此時拋物線的方程為y2=2px;第二步設A點坐標為（），直線OA的解析式為;第三步列出準線解析式，聯立第二步與第三步可以得到D點的縱坐標;第四步根據F（）求得直線AF解析式為;聯系第一步和第四步得到B點的縱坐標;最后就能證明直線DB∥x軸，除了理解和掌握例題的步驟與解法之外，師生還要關注到其他與高考相關的方面，即該例題出現的特殊的點與線，即焦點與準線。如果老師和學生深入探究下去，能得到以下結論：設B點是拋物線y2=2px上的定點，A點位于拋物線內，直線AB∥x軸，P點是拋物線上異于B點的動點，直線PA與拋物線相交于Q點，直線PB與拋物線相交于M點，則有MQ∥x軸。在以下題目中：已知拋物線y=x2+bx與直線y=2x+4交于A（a，8）、B兩點，點P是拋物線上A、B之間的一個動點，過點P分別作x軸、y軸的平行線與直線AB交于點C和點E，求拋物線的解析式。解題時，學生就可以把例題普遍化的結論運用在其中。

課本中的例題因為典型，所以值得老師和學生深入分析。在探究時，應該與高考考題趨勢相結合進行研究，證明類型的例題則可以當做結論進行應用。因此學習例題不應該浮與淺表，應沉浸其中，發現規律與聯系：一道證明性質的例題，可以得到普遍化的結論，并應用在平時的解題中。

二、真題探究

因為高考命題有著“來源于課本，高于課本”的特點，所以深入探討課本上的例題是十分關鍵的[2]。如果課本例題直接出現在高考題中，就可以凸顯例題的典型性，例如高考中曾以高中選修2-1P78的例題為原型改編，已知O、A、B三點共線，且（m、n∈R，mn>0），則的最小值是多少？主要考察的是學生的思維能力;一些課本例題得到的結論也會被應用在高考中，這也表現了高考的靈活特點，又如人教版必修2p130例題中，直線y=x-2與拋物線y2=2px相交于A、B，求證OA⊥OB，就與考試中一道題：直線l過定點（2p，0），與拋物線y2=2px相交于A、B，當AB⊥x軸時，S△AOB最小，有著異曲同工之處，因此學生熟練掌握課本例題就能縮短解題的時間;有些高考題目就是通過多重變化課本例題得到的，比如2007年高考江西卷第15題，△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線交AB、AC不同的兩點M、N，若，則m+n的值是多少？就把課本上多道例題一齊綜合在一起，所以學生平時思考題目時要多多發散。

以統計分析的考題舉例，高中時期接觸的統計概率知識還比較淺表，所以考察的內容知識比較零碎、覆蓋面較廣，但根據最近幾年的全國新課標I卷的趨勢分析，高考對“統計概率”的要求越來越嚴格，難度也越來越大。在2016年全國新課標理科Ⅲ卷的第18題中，向考生展示了一幅2008-2014年生活垃圾無害化處理量的折線圖，要求考生根據折線圖運用線性回歸模型擬合y與t的關系，并預測2016年生活化垃圾無害化處理量，考查難度比較大。這道高考題也在提示老師和學生基礎知識是最關鍵，概率與統計的基礎知識在選修2-3中，學生必須仔細的理解其中的含義;其次便是知識的互相聯系，概率與統計的知識看似簡單，但和幾何、數列聯系在一起解題便會有一定難度，學生在平時也要多留意相關題型;最后最重要的部分，就是數學核心素養的培養，只有綜合能力達到了一定水平，才會更加思路清晰、計算準確地解題。

根據對近幾年高考考題的分析，可以得到高考命題逐漸與課本例題靠近的結論，其主要考察學生是否理解課本例題的內涵，例題中蘊含的數學思想以及學生的數學綜合能力。

三、備考策略

高三學生復習數學方式，大多都是做題、考試、總結錯題的無限循環，在備考的道路上磕磕絆絆的走著，充滿著疲憊與艱辛。這些程序當然是必不可少的，至少代表著高中應試教育的特點，學生至少要明確高考考察的具體要求，這代表著今后備考的方向。

通過對課本例題的深入分析可知，課本例題時高考命題的“源泉”，大多高考題都是例題的變形體，所以學生在備考過程中，要注重理解教材中的例題，探究其中的數學思想和知識聯系，還要靈活應用例題給出的結論;通過對高考題目的觀察和總結可得，高考的考察重心逐漸往能力方面轉移，考察的知識點慢慢深化，需要學生對概念足夠清晰，還對學生的綜合能力有了更高的要求。例如2014年全國新課標I卷第21題第2問，，曲線y=f（x）在（1，f（x））處的切線方程為? ? ，證明f（x）>1，這道高考題屬于難題，對學生的數學素養要求很高。這道高考題可以有兩種解法，一是直接求導，利用二分法和數值放縮的方法解題;二是對指對函數進行分離變形，構造出新的函數解題。這一道問題利用不等式把指數函數與一次函數聯系在了一起，看似平凡卻又不平凡，其中不等式都來源于高等數學的泰勒公式。因此高考的高檔題往往與大學高等數學的知識有著密切聯系，所以老師在講解這種題型時，不妨教授學生一些簡單的大學知識和思想，例如微積分的知識理論和數學思想，使學生在面對高檔題時可以從不同角度切入思考并解題。

關于高三學生的備考，首先要注重教材中基礎知識點，其次要理解和拓展教材中的例題、習題以及思考題，最后還要培養數學思想和素養能力[3]，比如學學習選修4-4坐標系與參數方程p38例題4時，AB、CD是中心O的橢圓的兩條相交弦，交點為P，兩弦與橢圓長軸的交角∠1=∠2，求證，首先要學會理解、計算例題，其次還要與圓錐曲線的類似題型聯系在一起，最后還可以將這些四點共圓的題目總結出定理，如設點A是定圓錐曲線M上的定點，但不是頂點，C、D是M上的動點，直線AC、AD的斜率互為相反數，則直線CD的斜率為曲線M過點A的切線斜率的相反數，也是定值。做題是必不可少的環節，但也不是不可取代的部分，更重要的是學生的思考。高考數學的命題沒有技巧與套路，但高考數學的考察目的有一定的規律可循，學生一定要把握利用好課本中的例題。

四、總結

總之，高考沒有想象中登天之難，也充滿著無限的可能與挑戰。新課標的要求與高考大綱同時在為老師和學生指明方向，“回歸課本，理清知識;重視能力，提高思想品質”才是最有效的備考途徑。今后高考的方向也會往基礎知識和綜合能力的考察靠攏，所以學生鞏固基礎知識時要回歸課本，增強綜合能力時要及時深入探究。

參考文獻

[1]代修勇.新課標全國卷（理科）高考數學試題的研究[D].哈爾濱師范大學，2016

[2]項麗紅，逯彥周.2018年全國高考數學“概率統計”試題分析及教學思考[J].中學數學雜志，2018（09）：50-53.

[3]尚凡青.高三數學復習離不了課本中的例題與習題[J].新高考（高三數學），2013（11）：11-13.

作者簡介：方壯彬（1975.03-），男，廣東普寧人，理學學士，中學高級教師，主要從事數學教學