“數(shù)值分析”實驗教學(xué)的實踐與探索

程攀 田園

摘 要：本篇文章從“數(shù)值分析”實驗教學(xué)的實踐與探索的角度進(jìn)行探討，基于數(shù)值分析的理論特點以及教學(xué)目標(biāo)，闡明此課程實驗教學(xué)的意義。首先簡要介紹數(shù)值分析的特點，以及教學(xué)過程中實驗手段，其次介紹實驗環(huán)境建設(shè)、項目設(shè)計以及實驗準(zhǔn)備，最后分析教學(xué)組織與管理、具體實驗方法，以及實驗檢測考核。希望本文的研究能夠為相關(guān)研究者提供有益參考。

關(guān)鍵詞：數(shù)值分析;實驗教學(xué);數(shù)學(xué)實驗

前言：數(shù)值分析是計算數(shù)學(xué)的重要課程，利用計算機(jī)計算數(shù)學(xué)問題，獲得計算結(jié)果。數(shù)值分析是工科專業(yè)學(xué)生必須掌握的基礎(chǔ)理論，同時它也是實踐性、應(yīng)用性較強(qiáng)的知識，對于應(yīng)用數(shù)學(xué)、計算機(jī)專業(yè)的學(xué)生來說，是必修基礎(chǔ)課。通過開展數(shù)值分析的實驗教學(xué)，有助于幫助學(xué)生學(xué)會使用數(shù)值分析方法，提高其算法設(shè)計、理論分析能力。在具體應(yīng)用階段，可以幫助他們建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

一、數(shù)值分析實驗教學(xué)特點

數(shù)值分析教學(xué)，由于需要計算機(jī)以及實操手段，才能確定問題中的數(shù)值，因此該課程需要以實驗教學(xué)的形式進(jìn)行。通過進(jìn)行數(shù)值分析實驗，加深學(xué)生對于該理論的理解深度，掌握計算過程的方法和概念，從而在實際生活、學(xué)習(xí)中懂得運(yùn)用實驗手段進(jìn)行算法設(shè)計，去解決遇到的數(shù)學(xué)問題。由此可見，數(shù)值分析實驗教學(xué)是理論與實踐教學(xué)的完美結(jié)合[1]。

隨著計算機(jī)技術(shù)以及數(shù)學(xué)軟件的發(fā)展，為數(shù)值分析教學(xué)開展實驗提供了良好的條件，信息化、網(wǎng)絡(luò)化的教學(xué)環(huán)境，也一定程度改變了數(shù)值分析課程的教學(xué)模式和方法，使得實驗教學(xué)越來越普遍。盡管實驗教學(xué)有諸多優(yōu)點，但是在應(yīng)用實踐中，還需要克服一些問題，否則很容易因為實驗項目設(shè)計不當(dāng)，造成理論與實踐教學(xué)脫節(jié)的情況。同時，師資力量薄弱也是制約實驗教學(xué)發(fā)展的重要因素，由于缺乏實驗所需的設(shè)備和計算機(jī)，使得部分項目難以進(jìn)行。

此外，對于實驗教學(xué)的監(jiān)控不到位，這不僅不能提高數(shù)值分析課程的教學(xué)質(zhì)量，反而呈現(xiàn)相反效果。因此，在實驗教學(xué)中要處理好實驗環(huán)境建設(shè)、項目設(shè)計以及指導(dǎo)材料等問題。同時根據(jù)教學(xué)模式的特點，設(shè)計更具針對性的評價體系，從而全面地評估學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，通過以上努力建立一套可操性強(qiáng)的實驗教學(xué)方案。

二、實驗環(huán)境建設(shè)、項目設(shè)計以及實驗準(zhǔn)備

（一）實驗環(huán)境建設(shè)

為了確保數(shù)值分析實驗教學(xué)有序進(jìn)行，需要為學(xué)生創(chuàng)造良好的實驗環(huán)境，為相關(guān)實驗項目提供必需的設(shè)備、儀器，以此保障實驗教學(xué)的質(zhì)量。為了取得良好的實驗教學(xué)效果，實驗環(huán)境建設(shè)并非單純配備幾十臺計算機(jī)，或安裝專業(yè)性的數(shù)學(xué)軟件。建設(shè)實驗環(huán)境，是系統(tǒng)性的過程，需要考慮硬件和軟件層面的結(jié)合，要確保兩者有效兼容。其中硬件配置相對于軟件比較簡單，通過為其配置相應(yīng)規(guī)格的計算機(jī)、服務(wù)器以及網(wǎng)關(guān)設(shè)備即可。軟件系統(tǒng)的配置比較復(fù)雜，也是最容易被忽視的部分，它影響著教學(xué)質(zhì)量。軟件系統(tǒng)包括數(shù)學(xué)軟件和教學(xué)管理軟件，后者是協(xié)調(diào)軟件系統(tǒng)的關(guān)鍵，通過它促進(jìn)教學(xué)有效進(jìn)行[2]。

基于以上需求，在保證硬件配置滿足相應(yīng)要求后，采用全開放的軟件系統(tǒng)設(shè)置，基于Matlab的模式構(gòu)建教學(xué)實驗室。其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為：1、服務(wù)器連接教學(xué)管理服務(wù)器;2、以TCP/IP協(xié)議，教學(xué)管理服務(wù)器與學(xué)生實驗用機(jī)、實驗指導(dǎo)教師、系統(tǒng)管理員、校園網(wǎng)相連接;3、系統(tǒng)管理員方面，可以將實驗過程產(chǎn)生的數(shù)據(jù)進(jìn)行打印。接入校園網(wǎng)的設(shè)備，可以通過連接教學(xué)管理服務(wù)器，進(jìn)行相應(yīng)計算實驗。

采用這樣的環(huán)境設(shè)置，集合了網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)實驗和實驗教學(xué)管理，同時將教學(xué)管理服務(wù)器連接校園網(wǎng)。因此，學(xué)生在校園網(wǎng)覆蓋的范圍，只需要取得系統(tǒng)管理員的許可后，就能夠進(jìn)行實驗任務(wù)。網(wǎng)絡(luò)化的改造，方便學(xué)生在課堂、非課堂時間都能夠計算。同時采用聯(lián)網(wǎng)的監(jiān)督結(jié)構(gòu)，教師（系統(tǒng)管理員）可以透過此系統(tǒng)觀察學(xué)生的計算過程，針對學(xué)生提出的問題進(jìn)行答疑。教學(xué)管理功能，包括數(shù)值分析教學(xué)大綱、實驗計劃、計算任務(wù)、成績管理等，將教學(xué)管理功能集合在一起，方便教師整合各種資源，提高教學(xué)質(zhì)量。

（二）實驗項目設(shè)計

將實驗項目分為四大部分，分別是算法實現(xiàn)、應(yīng)用、設(shè)計實驗三大部分，通過以上環(huán)節(jié)，確立實驗教學(xué)的執(zhí)行原則和教學(xué)目標(biāo)，根據(jù)項目設(shè)計的不同，采取更加靈活、形式多樣的教學(xué)方式方法。

1.算法實現(xiàn)實驗

要求按照教材的算法編寫程序、軟件，在實驗用機(jī)上執(zhí)行，完成算法計算和分析實驗。這一任務(wù)主要是驗證性，確保實驗前期準(zhǔn)備工作、條件都符合要求。通過這個實驗，學(xué)生們能夠更深入地了解某一算法的應(yīng)用，通過一定的訓(xùn)練，將理論知識有效轉(zhuǎn)化為實際算法應(yīng)用，在實踐過程中掌握一些算法技巧和應(yīng)用方法。基于以上要求，采取了“算法數(shù)值穩(wěn)定性實驗”、“曲線擬合的最小二乘法實驗”等項目[3]。

2.算法應(yīng)用實驗

在此環(huán)節(jié)，將實際問題簡化為一部分，在課堂上提出簡化的問題，要求學(xué)生們基于問題假設(shè)進(jìn)行分析，完成數(shù)學(xué)模型構(gòu)建、算法選擇、計算機(jī)實現(xiàn)和計算結(jié)果分析的操作。針對這一實驗類型，設(shè)計了“人口增長率計算實驗”、“給藥方案實驗”等項目，從中提取關(guān)鍵問題交由學(xué)生們進(jìn)行解答。由于算法應(yīng)用實驗，涉及多學(xué)科的知識點，因此要結(jié)合理論課程的進(jìn)度，合理安排此類型實驗的時序，讓學(xué)生開展相關(guān)實驗時有足夠的理論基礎(chǔ)。通過這一實驗，讓學(xué)生體驗解決問題的過程，能夠根據(jù)問題選擇相應(yīng)的數(shù)值計算方法，強(qiáng)化算法應(yīng)用能力。

3.算法設(shè)計實驗

經(jīng)過以上兩個階段的實驗教學(xué)，學(xué)生們對于算法應(yīng)用和實現(xiàn)已有一定的體會，也基本了解算法和計算機(jī)操作技巧，基于以上學(xué)習(xí)基礎(chǔ)進(jìn)行算法設(shè)計實驗。課堂上提出某一問題，要求對現(xiàn)有算法進(jìn)行針對性設(shè)計或改進(jìn)，以此讓計算更高效，分析結(jié)果更準(zhǔn)確等。這一類型的實驗，安排了“牛頓迭代法改進(jìn)實驗”、“磁共振成像設(shè)計實驗”等。相比起以上兩個實驗，此實驗更注重對學(xué)生創(chuàng)造性開發(fā)，考察學(xué)生對于算法的認(rèn)識深度，具有較高的難度。通常在期末進(jìn)行教學(xué)，通過實驗讓學(xué)生掌握基本數(shù)值計算的方法，在了解算法的基礎(chǔ)上嘗試進(jìn)行改良設(shè)計，培養(yǎng)他們的科研能力。

按照數(shù)值分析的教學(xué)大綱，按照實驗難度由低到高，共設(shè)置30個層次的實驗項目，其中將10個項目列為必做項目，涉及書中90%的算法。這10個項目難度有所降低，可操作性更高，有明確的流程指導(dǎo)，方便學(xué)生按部就班完成基礎(chǔ)內(nèi)容的學(xué)習(xí)。其余項目列為選做項目，為學(xué)習(xí)能力強(qiáng)、天賦高的學(xué)生準(zhǔn)備，對于實驗效果良好，對于算法設(shè)計有獨(dú)到見解的學(xué)生，給予學(xué)分的獎勵，并將其與獎學(xué)金等獎勵相掛鉤，以此形成對學(xué)生的有效激勵[4]。

（三）實驗準(zhǔn)備

在正式開始實驗前，需要做好相應(yīng)的準(zhǔn)備，讓學(xué)生熟悉教學(xué)實驗室的環(huán)境，以及設(shè)備的功能，以及如何操作和使用計算機(jī)以及數(shù)學(xué)軟件。帶領(lǐng)學(xué)生了解各實驗項目的流程，以及怎么使用實驗工具、M文件編寫、實驗報告編制等。為了讓學(xué)生盡快熟悉實驗室環(huán)境，基于實驗室說明書，編寫“Matlab語言基礎(chǔ)”的課件，其中包含了M文件編寫的一應(yīng)準(zhǔn)備，同時制作部分GUI，以及實驗項目的參考報告。在組織實驗前，利用一個課時的時間，基于制作的課件，詳細(xì)、完整地講解實驗的流程和注意事項，為學(xué)生順利完成實驗掃清障礙。

三、教學(xué)組織管理、具體實驗方法以及實驗評價

（一）教學(xué)組織管理

1.實驗流程

進(jìn)行的數(shù)值分析實驗，學(xué)生們利用接入教學(xué)管理服務(wù)器的計算機(jī)，以Matlab、Word作為實驗工具完成相應(yīng)任務(wù)。教師（系統(tǒng)管理員）通過教學(xué)管理功能，將實驗分發(fā)到對應(yīng)學(xué)生的計算機(jī)，實時與其計算機(jī)保持接通的狀態(tài)，從而在這過程中能夠?qū)W(xué)生遇到的困惑進(jìn)行答疑，并引導(dǎo)其正確的計算操作，利用系統(tǒng)管理功能對學(xué)生實驗報告、成績進(jìn)行管理。教學(xué)組織和管理，遵循以下流程：網(wǎng)上發(fā)布實驗任務(wù)→學(xué)生下載實驗任務(wù)→教師闡述實驗內(nèi)容和要求，提示實驗難點→同步進(jìn)行實驗答疑、撰寫實驗報告→學(xué)生上傳實驗報告→實驗檢測與評價→實驗成績查詢、實驗報告交流。

2.項目設(shè)置

以插值多項式收斂性實驗為例，這一實驗有兩大目的：1、是讓學(xué)生理解Langrage插值法，并利用M文件編寫插值程序。2、將編寫的插值程序計算、驗證Runge現(xiàn)象，并分析插值多項式收斂性。

實驗內(nèi)容首先利用Matlab描述Langrage插值法，然后編寫插值程序。根據(jù)y=1/1+x2，x∈[-5，5]分別取3、5、9、11個等距節(jié)點。基于這些計算條件，以編寫的插值程序進(jìn)行計算、畫圖，驗證實驗課題。

實驗所學(xué)儀器、軟件，要求CPU主頻在1GHz以上，內(nèi)存為256Mb以上的計算機(jī)，數(shù)學(xué)軟件版本為Matlab6.0。

實驗報告要求以Word文檔的形式提交，利用其m-book模板進(jìn)行編輯，按照實驗進(jìn)程同步撰寫實驗報告，并將文檔命名為相應(yīng)格式上傳。教師根據(jù)學(xué)生上傳報告進(jìn)行檢測和評閱。

數(shù)值分析課程包含實驗課時在內(nèi)最多72學(xué)時，大部分課時主要進(jìn)行理論教學(xué)，僅有少部分的時間可以進(jìn)行實驗教學(xué)。借助網(wǎng)絡(luò)化改造的實驗室，以作業(yè)的形式讓學(xué)生根據(jù)課堂學(xué)習(xí)的理論知識，在課下利用計算機(jī)自行實驗。同時將實驗課時提高，最好達(dá)到18學(xué)時。

（二）具體實驗方法以及實驗評價

數(shù)值分析實驗有別于化學(xué)、物理等實驗，其實驗過程基本在計算機(jī)上完成，在正式實驗前，通過一定的演示讓學(xué)生們了解這一實驗的表現(xiàn)形式，掌握實驗的方法和操作技巧。同時提高2～3個實驗報告的范文，以供學(xué)生參考，指導(dǎo)他們利用Matlab、Notebook等實驗工具[5]。

實驗任務(wù)通常有以下幾點：1、算法描述，要求學(xué)生使用Matlab對提出的算法進(jìn)行描述，完成數(shù)值分析實驗。提示學(xué)生注意Matlab的語言特點。2、將算法描述結(jié)果編制成M文件，然后根據(jù)M文件的數(shù)值進(jìn)行計算、分析，由此驗證實驗設(shè)定的條件和計算結(jié)果，確定計算誤差、算法收斂性、數(shù)值穩(wěn)定等符合實驗預(yù)期。3、根據(jù)算法計算和分析結(jié)果，進(jìn)行總結(jié)，最后按照相關(guān)格式和要求撰寫實驗報告。

在實驗的過程中，教師利用教學(xué)管理的功能，實時關(guān)注各學(xué)生的實際操作，再結(jié)合上傳的實驗報告，以此對學(xué)生實驗成績進(jìn)行評價。借助教學(xué)管理的功能，將多位學(xué)生的實驗報告進(jìn)行對比分析，杜絕抄襲的問題。期末安排一次上機(jī)考核，驗證學(xué)生的操作能力。

結(jié)論：綜合上述，數(shù)學(xué)分析實驗，需要構(gòu)建功能完善的硬件、軟件系統(tǒng)，以此為基礎(chǔ)對實驗室進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)化改造，為學(xué)生進(jìn)行實驗提供便利。同時借助教學(xué)管理功能，讓學(xué)生明確實驗任務(wù)要求，保證數(shù)值分析實驗教學(xué)質(zhì)量。

項目基金（沒有就不用寫）：重慶交通大學(xué)實驗教改項目“《數(shù)值分析》實驗創(chuàng)新的效果分析研究”（syj201638）;重慶市教委基金（CSTC2013JCYJA00017）;重慶市科委基金（KJ1500517）;

重慶市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“社會主義核心價值觀融入電視劇敘事教學(xué)的路徑研究”（2016-GX-118）

參考文獻(xiàn)

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[2]張智豐，鄧重陽，李亞娟.數(shù)值分析課程混合式教學(xué)模式的研究與實踐[J].教育現(xiàn)代化，2018，5（37）：151-152.

[3]孫杰寶，張達(dá)治，吳勃英.工科研究生“數(shù)值分析”課程分類教學(xué)改革探討[J].天津市教科院學(xué)報，2018（04）：69-71.

[4]牛瀟萌.MATLAB軟件在數(shù)值分析課程中的應(yīng)用[J].赤峰學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2018，34（08）：17-18.

[5]李聲鋒.數(shù)值分析課程教學(xué)中運(yùn)用Mathematica軟件的交互教學(xué)實踐[J].通化師范學(xué)院學(xué)報，2018，39（08）：98-102.

作者簡介

程攀;男;出生年月：1976.06;籍貫：重慶;民族;漢;最高學(xué)歷：博士研究生;目前職稱：副教授;研究方向：數(shù)值計算

田園;女;出生年月：1978.06;籍貫：自貢;民族;漢;最高學(xué)歷：博士研究生;目前職稱：教授;研究方向：傳媒研究