初一數學解題教學中回歸定義的價值

李維金

【摘? 要】數學解題的第一步是審題，這是學生必須明確認識到的，掌握題干中的關鍵詞和對定義的使用要求是學生解答數學題目的基礎和依據，是學生必須熟練掌握的能力。學生必須重視審題，重視扎實掌握教材中的原始定義，充分發揮定義的意義和價值，完成數學題目的解答。數學家波利亞從明確提出“回到定義上去”的觀點，這說明在數學家波利亞看來“回到定義上去”是數學學習中重要的思維活動和解題流程;數學家帕斯卡也提出過這樣的觀點，即“用定義中的事實來代替被定義的術語”，說明了“回到定義上去”是數學家們普遍認同的一種數學解題策略，在實際教學過程中我們也可以發現，不能正確地理解定義中的文字表達的思想，就無法準確應用定義，不能正確理解題干中的文字表達的思想，就無法尋找到正確的定義，不能正確解題。

【關鍵詞】初中數學;解題教學;回歸定義;應用

一、抓住數學題干已知條件中給出的關鍵詞進行回歸

有些數學題目在題干中會隱藏關鍵詞，有些題目則會直接給出關鍵詞，直指相關的數學定義、概念、公式的名稱，這種已經給出的關鍵詞就是解決這一題目的重要工具，學生在面對這樣的題目時，只要能準確抓住已知的關鍵詞，就能順利找到解題思路，解題也就成功了一大半，因此，教師要重視對學生此方面的培養，提高學生的數學知識應用能力。

例：當代數式2a3bn和3am+1b4是同類項時，代數式m-2n的值是多少？

根據題干的已知條件可知，求的是代數式m-2n的值，范圍則是“代數式2a3bn和3am+1b4是同類項”，很多學生剛看到題目時無法理解，覺得題干中的未知項太多，但細究之下學生們能發現，題干中“同類項”一詞是關鍵，是決定了題目走向和最終答案的關鍵詞，很多學生不明白怎么做是因為沒有抓住關鍵詞，還有的學生是因為沒有記住“同類項”的定義。這時候，教師要先引導學生回憶“同類項”的定義，根據同類項的定義去將文字描述轉化為數學形式，進而求解。同類項是指“所含字母相同，且相同字母的指數也分別相同的項”，由“同類項”的定義我們可知代數式中字母a和b的指數分別相同，也就是指3=m+1，n=4。由此可分別算出m，n的值，最終得到代數式m-2n的值。

答：由代數式2a3bn和3am+1b4是同類項可知，a，b的指數分別相同，所以3=m+1，n=4，所以m=2，n=4，所以代數式m-2n=-6。

例：當一個多邊形的內角和的1/4倍比外角和少45°時，這個多邊形有幾條邊？

面對這個題目時，很多學生無法確定內角和、外角和、1/4倍、45°之間的關系，不知從而處入手去求解多邊形的正確形狀，通過讀題可知，題干中隱藏著一個等量關系，一個多邊形的定義，這兩點是解決題目的關鍵。首先，“A的XX倍又多/少XX是B時”，A和B之間已經存在一個文字描述的等量關系，根據題干描述可以轉化為數學形式，即：A[×]1/4+45°=B，其中A為內角和，B為外角和。其次，題目涉及多邊形的定義，在多邊形的定義中存在有關內角和、外角和的公式：多邊形內角和公式：θ=（n-2）×180°，n為多邊形邊數;多邊形外角和為定值：360°;可以由等量關系與外角和定值得出內角和，根據內角和公式反推出多邊形邊數。

答：由已知條件可知A[×]1/4+45°=B，其中A為內角和，B為外角和=360°，所以A=1260°，又因為A=（n-2）×180°，所以n=9，所以，多邊形為9邊形。

由以上例題的分析解答中可以看出，抓住題干關鍵詞是非常重要的解題環節，有助于挖掘解題思路和解題關鍵，從而理順數量關系。

二、利用題干中數字、代數式的特征回歸定義

數學定義的出現往往伴隨著特殊形態的數字形式或代數式形式，這些特殊形態都是幫助我們確定應該回歸定義方向的關鍵點，把握住這些具有特征的關鍵，就能夠挖掘出解題的關鍵定義、公式、定理，尋找出解題思路，得出結論。教師在解題教學中要積極引導學生尋找特征，并根據題目特征回顧相對應的定義，理順學生的解題思路，讓他們發現回歸定義的重要性。

例：|2m-5|+（2m-5n+20）2=0，求（-2m2）-2m（5n-2m）+3n（6m-5n）-3n（4m-5n）的值。

很多學生一看到這個題目就不會了，求解的這個代數式這么長，怎么辦？很多教師會根據具體題目計算過程中要求學生先做什么后做什么，比如這道題，有的教師會教學生先將求解的代數式化簡，然后再做其他的工作，但我不贊成這種教學方法，這道題能先化簡是因為代數式中數字關系、形態與已知條件關系不大，有的題目則是關系很大，先將求解的代數式化簡這種關系就有可能看不出來，反而繞彎路，而面對這種不能先化簡的題目，教師又讓學生先看已知條件，這樣前后不一致的教學方法和解題思路會導致一些中等生和學困生無法理解，在“怎么判斷先做哪個后做哪個”這種無用的問題上浪費時間，影響學生的學習積極性。因此，教師應當規范自己的解題思路，一定是先看已知條件，然后結合問題進行變形，不要將學生帶偏，強調回歸定義、回歸教材、回歸數學本源。根據這個題目的已知條件可知，絕對值和二次方值相加等于0，根據絕對值和乘方的定義可知，絕對值只能是正數和0，二次方也只能是正數和0，兩項相加為0時，只能是兩者都為0，因此可知，2m-5=0，2m-5n+20=0。

答：由已知條件可知 |2m-5|+（2m-5n+20）2=0，根據絕對值和乘方的概念可知只有兩者都為0時，相加和才能為0，所以2m-5=0，2m-5n+20=0，所以 m=2.5，n=5，將代數式（-2m2）-2m（5n-2m） + 3n（6m-5n）-3n（4m-5n）化簡可得，原式 = 2m2-4mn，帶入已知條件求解的m=2.5，n=5，可得原式=-12.5。

例：10x= 5，10y= 3時，求102x+3y=？

根據題干中數字的形態特征可知這是關于冪的求解，其中涉及指數相加、相乘的問題，由此可知，解答該題目時我們需要用到同底數冪的相關定義。關于同底數冪的運算性質有5種，其中“同底數冪相乘，底數不變，指數相加”和“同底數冪乘方，底數不變，指數相乘”兩種是解答該題的關鍵。

答：由已知條件和冪的運算性質可知：“同底數冪乘方，底數不變，指數相乘”，因此，所以 102x+3y=102x[×]103y=（10x）2[×]（10y）3，已知10x =5，10y=3，所以 102x+3y=52×33=675。

三、抓住題目中的數學符號回歸定義

數學大致可分為代數和幾何兩個方面，在進行數學學習時，數字與圖形相轉化、相結合的例子比比皆是，是中小學數學教學中十分常見的一種解題思路，因此，教師除了引導學生進行數字的定義回歸外，還應當加強對幾何問題的回歸定義，將題目中用圖形、文字或數字表示的數量關系、幾何關系轉化為更便捷的形式，進行題目解答，這些被轉化的圖形符號、數學符號就是解題的關鍵。

例：

上圖的△ABC中，BD=DE=EC，問圖中面積相等的三角形有幾對？

由題干可知，BD=DE=EC，也就是說三角形的BC邊被等分了，所以除了題干條件中的等量關系外，BE=DC也是成立的。然后再看問題，題目的問題是面積相等的三角形，根據三角形面積計算的公式可知，三角形面積=底面積×高，在高相等，底面積相等的情況下，三角形面積即相等。

答：由已知條件可知BD = DE =EC，所以D、E將線段BC三等分，BD = DE= CE，BE = CD，因為三角形已經固定，則A點到BC邊的垂直距離固定，即三角形的高固定不變，根據三角形面積計算公式可知，S△ABD=S△ADE ，S△ADE=S△AEC，S△ABD=S△AEC，S△ABE=S△ACD，所以面積相等的三角形有 4 對。

（責任編輯? 袁 霜）

[參考文獻]

[1]王國強.讓思維生長：回歸新定義問題的本質[J].中學數學教學參考，2018（29）：38-40.