數(shù)無形時缺直覺，形無數(shù)時難入微

王家強(qiáng)

課堂上我布置一道來自于課外參考書《2013百題大過關(guān)第一關(guān)》的解析幾何題目：

已知拋物線的焦點恰好是雙曲線的右焦點，且兩條曲線交點的連線過點F2，則該雙曲線的離心率為__________

拿到這題有學(xué)生們采用代數(shù)方法進(jìn)行求解，如下：

設(shè)兩曲線交于點，則

由韋達(dá)定理得：

由圖形的對稱性可得：兩曲線的兩交點A、B滿足軸，，所以但后面的參考答案是用幾何法進(jìn)行解答，如下：

依題意得：

如圖，由圖形的對稱性可得：兩曲線的兩交點A、B滿足軸

對于雙曲線來說，對拋物線來說，

學(xué)生們感到納悶：我的解法錯在哪里？于是，學(xué)生就拿這個問題來問老師我。

學(xué)生的解法在我的教學(xué)設(shè)計之外，但憑借多年的教學(xué)經(jīng)驗我不置可否。

我微笑地反問學(xué)生：

學(xué)生說：，故x1、x2異號，與矛盾！故這個解法是錯誤的。”

老師的點拔雖讓學(xué)生知道了他的這個解法過程中是錯誤的地方，但學(xué)生心中一直有個疑惑：從方程算出來的，與圖1中的呈現(xiàn)出來的結(jié)果竟然不一致？若x1代表點A、B的橫坐標(biāo)，則x2不是點B的坐標(biāo)，，那x2究竟代表什么？

老師提醒說：“你不妨在復(fù)數(shù)范圍考慮這個問題”。

于是，學(xué)生在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)討論這個問題。

根據(jù)圖形的對稱性，設(shè)

設(shè)x2是（*）方程的另一個根，由韋達(dá)定理得：，又拋物線與雙曲線共焦點得：，代入上面兩式，可得

，因而x2是個虛根。

兩邊同除以，得：

因為雙曲線的離心率e>1，所以（舍去）

雖然用代數(shù)方法把答案求出來了，跟參考答案一樣，但這個過程中伴隨著另個離心率出現(xiàn)，不僅引起我的遐想：這個問題似乎跟橢圓還有一定關(guān)聯(lián)！莫非虛根就是橢圓上，且它是橢圓和拋物線方程聯(lián)立組成的方程組的實數(shù)根？同時，這個橢圓與雙曲線有特別關(guān)系？

鼓勵學(xué)生畫出圖2情形，緊鑼密鼓地進(jìn)行下列運(yùn)算企圖

驗證自己的“發(fā)現(xiàn)”是正確的。

相對比可知：橢圓與拋物線的方程聯(lián)立組成的方程的兩個根恰好是雙曲線與拋物線的方程聯(lián)立組成的方程的兩個根的相反數(shù)。

再回顧剛開始時的解法，學(xué)生發(fā)現(xiàn)用韋達(dá)定理得到是正確的，只是并非是點B的坐標(biāo)，卻誤把它直接當(dāng)成點B的坐標(biāo)造成結(jié)果錯誤。這里的x2是個“虛根”！在圖2中體現(xiàn)為“一對共頂點的橢圓和雙曲線”中橢圓與拋物線的交點的橫坐標(biāo)，其中橢圓的離心率，雙曲線的離心率。

解決本題時“虛根”雖給學(xué)生惹下很大的一個“禍”！（讓自己把本題解錯了），給學(xué)生帶來暫時的、很大的困惱，但學(xué)生樂于迎接這樣的挑戰(zhàn)！我從中得到如下感悟：

（1）本題雖比較適合于用幾何解法，數(shù)形結(jié)合較輕松，但代數(shù)解法卻告訴了我：采用聯(lián)立方程和韋達(dá)定理進(jìn)行解題，要當(dāng)心二元二次方程中虛根的存在，要進(jìn)一步理解“以數(shù)解形”的完備性;

（2）用代數(shù)方法來解決這樣問題可以很好開拓自己的視野，完備自己的知識，培養(yǎng)自己的創(chuàng)新思維。因為它站在系統(tǒng)的高度，很完美、較復(fù)雜，但散發(fā)著問題的本質(zhì)，能深化我們對圓錐曲線是個統(tǒng)一體的本質(zhì)理解;

（3）再次體驗華羅庚的名言：“數(shù)無形時缺直覺，形無數(shù)時難入微”。今后我們在解數(shù)學(xué)題時應(yīng)強(qiáng)化自己數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用意識。