人教版高中數(shù)學(xué)教材中的邏輯錯誤辨析

林釗 張帆 朱恩澤 黃榮彬

摘 要：本文根據(jù)邏輯學(xué)基本知識，分析了人教版高中數(shù)學(xué)教材中存在的一些邏輯問題，包括自相矛盾的陳述、對象名稱的缺失、違反規(guī)則的定義以及不當用詞。數(shù)學(xué)教材之所以存在這些問題，歸因于教育體制邏輯學(xué)教育的缺失導(dǎo)致思維規(guī)則的缺失，以致違反思維規(guī)則，文章期望引起國家教育部門和權(quán)威人士重視邏輯學(xué)教育。

關(guān)鍵詞：邏輯學(xué);高中數(shù)學(xué)教材;自相矛盾;定義規(guī)則;用詞不當

1.引言

人類的思想行為是有規(guī)律的，是自然規(guī)律，客觀存在。早在兩千多年前，人類已經(jīng)認識了思維的一些規(guī)律。基于對人類思維規(guī)律的認識，亞里士多德始創(chuàng)了邏輯學(xué)。邏輯學(xué)是關(guān)于思維規(guī)律的知識體系，是思考的基礎(chǔ)工具，教人如何正確地思考和表達。世界上很多國家在大、中學(xué)階段，將邏輯作為一種必修的通識教育。1977年版英國大百科全書將邏輯學(xué)列為知識的五大分科之首，即：邏輯學(xué)、數(shù)學(xué)、科學(xué)、人文學(xué)科、哲學(xué)，可見邏輯學(xué)的重要性。它們是并列關(guān)系，可見邏輯學(xué)不是數(shù)學(xué)。邏輯學(xué)的基礎(chǔ)作用是對正確思維的保證和規(guī)范，作為一門工具型學(xué)科，具有全人類性，規(guī)范性和基礎(chǔ)性，是指導(dǎo)人類使用邏輯思維并進行高效交流和討論的必要工具。大學(xué)生學(xué)習(xí)邏輯學(xué)對本身素養(yǎng)的提高更是十分必要。但在我國，作為系統(tǒng)的通識教育的邏輯課，已經(jīng)缺失數(shù)十年之久了。這種缺失必然造成嚴重負面影響，使社會呈現(xiàn)出一種思維上的病態(tài)，科學(xué)創(chuàng)新能力也極低下，在教育界也導(dǎo)致學(xué)生邏輯思維能力不足等問題。

邏輯學(xué)的系統(tǒng)的通識教育在我們的教育體制整體上是缺失的，但是筆者注意到，也有一些科目的教材介紹了點滴的邏輯學(xué)知識。人教版的普通高中數(shù)學(xué)教材選修1-1[1]有“邏輯常用用語”一章，列出了命題及其關(guān)系，充分條件和必要條件，簡單的邏輯連接詞，全稱量詞和存在量詞等內(nèi)容，可是，即使是這么簡單的一些內(nèi)容，筆者瀏覽了一下，也發(fā)現(xiàn)了許多問題，這可以歸因于教材編寫專家也是出自這個沒有邏輯學(xué)系統(tǒng)教育的體制，本身邏輯學(xué)知識并不扎實，在實際的學(xué)術(shù)活動中自覺地正確地應(yīng)用邏輯學(xué)知識的能力不足，形成了一個不良循環(huán)。數(shù)學(xué)被認為是進行邏輯思維能力訓(xùn)練的基礎(chǔ)學(xué)科，數(shù)學(xué)教材的不嚴謹勢必造成不良影響。

本文就根據(jù)《普通高中課程標準（實驗）》編寫的人教版數(shù)學(xué)教科書中存在的幾個問題提出修正意見，目的是呼吁大家重視邏輯學(xué)普及工作，掌握思維規(guī)則，提高思維品質(zhì)。

2.人教版高中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的幾個問題

人教版高中數(shù)學(xué)教材是人民教育出版社根據(jù)教育部制訂的課標組織編寫的，筆者偶然機會瀏覽了教材，根據(jù)思維規(guī)則，審視了一下，發(fā)現(xiàn)存在一些不符合規(guī)則的內(nèi)容，列舉如下：

2.1自相矛盾的陳述

教育部制訂《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）》[2]開宗明義說：“數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，是刻畫自然規(guī)律和社會規(guī)律的科學(xué)語言和有效工具。數(shù)學(xué)科學(xué)是自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)等科學(xué)的基礎(chǔ)，并在經(jīng)濟科學(xué)、社會科學(xué)、人文科學(xué)的發(fā)展中發(fā)揮越來越大的作用。”這段陳述包含了若干性質(zhì)命題和關(guān)系命題。

從中我們可以簡言之，數(shù)學(xué)科學(xué)是科學(xué)，這是一個性質(zhì)命題，表示數(shù)學(xué)是科學(xué)大類下的一個小類，數(shù)學(xué)小類和科學(xué)大類可以用歐拉圖表示它們之間的外延關(guān)系，它們是種屬關(guān)系，不是全同關(guān)系，因為還有自然科學(xué)，技術(shù)科學(xué)等科學(xué)存在。

“數(shù)學(xué)科學(xué)是自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)等科學(xué)的基礎(chǔ)”，這是一個復(fù)合的關(guān)系命題，數(shù)學(xué)科學(xué)是自然科學(xué)的基礎(chǔ)，這一命題是支命題。我們以此關(guān)系命題為小前提，以另一命題為大前提，可做如下推理：

如果A（類）事物與B（類）事物之間存在關(guān)系（非自身關(guān)系），（用p表示）

那么，A事物不是B事物;（用q表示，用p→q表示此充分條件假言命題）數(shù)學(xué)科學(xué)是自然科學(xué)的基礎(chǔ)，（p）

所以，數(shù)學(xué)科學(xué)不是自然科學(xué)。（q）

推理形式：（p→q）∧p→q

這是充分條件假言命題推理的肯定前件式（MP），是有效的推理形式，大小前提命題真實，推理是可靠的，見圖1

數(shù)學(xué)科學(xué)和自然科學(xué)并列，也就是，數(shù)學(xué)科學(xué)不是自然科學(xué)，與之等價的命題是，自然科學(xué)不是數(shù)學(xué)科學(xué)。

但是，在人教版普通高中數(shù)學(xué)教材必修1[3]的《主編寄語》中主編卻說：“她（指數(shù)學(xué)，擬人化的說法，筆者注），是一切科學(xué)和技術(shù)的基礎(chǔ)”。這里，不再說數(shù)學(xué)科學(xué)了，而是說，數(shù)學(xué)是科學(xué)的基礎(chǔ)。這是一個關(guān)系命題，同理，我們可以得出，數(shù)學(xué)不是科學(xué)，與之等價的命題是，科學(xué)不是數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)和科學(xué)是并列關(guān)系，它們和學(xué)的外延關(guān)系是種屬關(guān)系。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）》和人教版普通高中數(shù)學(xué)教材必修1，一個認定“數(shù)學(xué)是科學(xué)”，另一個認定“數(shù)學(xué)不是科學(xué)”，但它們是同一體系，等價于同時認定兩個互為矛盾的命題都為真，違反矛盾律，自相矛盾。

判斷違反矛盾律基本規(guī)律，要求是在同一思想過程。根據(jù)人教版普通高中數(shù)學(xué)教材必修1的《本冊導(dǎo)引》中有“我們根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）》編寫了這套實驗教科書”的陳述，由此認定他們是同一思想體系，斷定人教版普通高中數(shù)學(xué)教材存在自相矛盾的陳述。

2.2名稱缺失

教育部制訂《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）》引進了集合概念。人教版普通高中數(shù)學(xué)教材在必修1第一章討論了集合與函數(shù)概念[3]，同時還討論了子集概念。在講到子集時寫到：“對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集（subset）”。并且把這種包含關(guān)系分為兩種情況，第一種是集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，而且集合B中任意一個元素都是集合A中的元素，即如教材所寫“集合A與集合B中元素是一樣的，因此，集合A與集合B相等，記作A=B”，接著教材談到第二種情況，集合B中有的元素不是集合A中的元素，“稱集合A為集合B的真子集（propersubset）”。

這就出現(xiàn)了一個問題，第一種情況的集合A該稱為集合B的什么子集呢？也就是說教材沒有給第一種情況的子集這個對象一個名稱來指稱，這做不到“名正言順”，授課時很不好講解。第二種情況，把“propersubset”譯為真子集，也顯欠妥。

為了消除這個缺陷，我們根據(jù)概念的劃分知識對子集這個概念的外延提出如下劃分，見圖2：

子集是一大類對象，只有兩種小類，一種是全同型子集（互子集），一種是包含型子集（常子集），圖2（a）。因此，子集的外延劃分可應(yīng)用“二分法”一分為二，用歐拉圖表示見圖2（b），用樹狀圖表示見圖2（c）。

2.3定義過窄

人教版普通高中數(shù)學(xué)教材選修1-1[1]有“邏輯常用用語”一章，列出了命題及其關(guān)系，充分條件和必要條件，簡單的邏輯連接詞，全稱量詞和存在量詞等邏輯學(xué)內(nèi)容。因此，就有對概念進行定義的內(nèi)容。它對命題概念下了這樣一個定義：“一般地，在數(shù)學(xué)中我們把用語言、符號或者式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題（proposition）”。

定義是明確概念內(nèi)涵的思維方法，一般以一個簡單性質(zhì)命題來實現(xiàn)，主項是被定義項，謂項為定義項。下定義要遵守規(guī)則，其中第一條規(guī)則要求定義項概念和被定義項概念外延要是全同關(guān)系，違反此規(guī)則，則發(fā)“定義過寬”、“定義過窄”錯誤。常用的定義方法是“屬加種差”定義法，或者稱之為“大類概念加限制”定義法，限制是通過增加內(nèi)涵減小外延使概念從大類過渡為小類的思維方法，是劃分的依據(jù)。為確保“全同關(guān)系”，下定義時先把被定義項概念歸屬為被定義項的大類，然后通過合適的限制使定義項大類過渡為與被定義項概念外延全同。

很明顯，教材對命題概念的定義違反了“定義過窄”規(guī)則的定義。

命題是表達思想的語言單位，應(yīng)屬于語句。該定義應(yīng)用了“屬加種差”定義法，把被定義項概念歸屬于陳述句，而陳述句是語句的小類。顧名思義，陳述句就是對事物屬性的陳述，既如此，它肯定有所陳述，也就一定可以判斷真假，無需再加“可以判斷真假”的限制，加了倒反成為“不當限制”了。一些非陳述句，如反問疑問句，也可以判斷真假，是命題語句。一般疑問句，祈使句等語句，不能判斷真假，不是命題語句。命題是語句，可以用命題語句指稱，就如化學(xué)是科學(xué)，可以用化學(xué)科學(xué)指稱。合乎規(guī)則的定義應(yīng)該是，“可以判斷真假的語句叫做命題”。

2.4用詞不當

人教版普通高中數(shù)學(xué)教材選修1-1[1]有“邏輯常用用語”一章，著重討論了所謂的“逆否命題”。逆否命題是一個命題，是相對于原命題而言的。原命題是充分條件假言復(fù)合命題，即如果p，那么q，這里的p、q是支命題，用符號可表示為：p→q，即命題p蘊涵命題q。對原命題進行了三次邏輯操作而得到了“逆否命題”，其中，對原命題即假言充分條件復(fù)合命題的前件p和后件q分別進行否定，得出的命題?p→?q，被謂之為原命題的否命題，這是用詞不當，引起了與原命題真正的否命題?（p→q）的混亂。

教材還用了一個類似性質(zhì)命題對當關(guān)系圖的示意圖來說明命題間的關(guān)系[1]，而這個示意圖的四邊所代表的命題之間都是不確定關(guān)系，沒有確定的相關(guān)聯(lián)的命題我們關(guān)注它沒有意義。只有兩條對角線所代表的命題關(guān)系是等價關(guān)系，即同真同假，而這兩條對角線也是等價關(guān)系，只是表示符號不同而已。而且，這和性質(zhì)命題對當關(guān)系圖也不一致，性質(zhì)命題對當關(guān)系圖的對角線是矛盾關(guān)系，即不同真不同假。為了這兩個等價的所謂“互為逆否”搞一個這么復(fù)雜的圖，會把學(xué)生搞暈。實際上，它只不過是命題邏輯學(xué)中的“蘊涵換位律（Trans）”，（p→q）≡（?q→?p），記住這個公式即可，證明它也很容易。

教材在涉及原命題真正的否命題?（p→q）時，由于否命題一詞已被使用，只好使用“命題的否定”來指稱真正的否命題。可是，命題的否定是行為，不是命題，用命題的否定來指稱命題，實在不妥，筆者建議棄用“逆否命題”一詞。

3.結(jié)語

本文對人民教育出版社根據(jù)教育部制訂的課標組織編寫的普通高中數(shù)學(xué)教材中存在的問題提出了糾正意見。數(shù)學(xué)本就是要著重培養(yǎng)學(xué)生推理能力的科目，但是，由于教材編寫的不嚴謹，教學(xué)效果會大打扣折。有關(guān)專家編寫的教材之所以存在這些問題，筆者認為主要原因是邏輯學(xué)教學(xué)的缺失導(dǎo)致邏輯學(xué)知識的缺失，這相當于缺少思維規(guī)則約束。筆者寫此篇短文發(fā)表，以期引起國家教育部門和權(quán)威人士重視邏輯學(xué)教育。

基金項目：國家基礎(chǔ)科學(xué)人才培養(yǎng)基金資助（J1310024）

參考文獻

[1]人民教育出版社，課程教材研究所.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)選修1-1A版.北京：人民教育出版社，2007

[2]中華人民共和國教育部制訂.《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）》.北京：人民教育出版社，2003

[3]人民教育出版社，課程教材研究所.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)必修1A版.北京：人民教育出版社，2007