基于焦點(diǎn)學(xué)生完整學(xué)習(xí)歷程的教學(xué)分析與改進(jìn)

摘要：運(yùn)用焦點(diǎn)學(xué)生完整學(xué)習(xí)歷程觀察及關(guān)鍵事件分析法，觀察小學(xué)數(shù)學(xué)《化簡最簡比》一課。首先，立足學(xué)習(xí)歷程，抽取關(guān)鍵事件：過往學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)導(dǎo)致學(xué)科迷思概念;“學(xué)困生”提出問題，“學(xué)優(yōu)生”解釋不清;被動聽講與淺表思考的學(xué)生無法應(yīng)對高挑戰(zhàn)問題。其次，基于關(guān)鍵事件，分析學(xué)習(xí)困難與應(yīng)對機(jī)制：三次學(xué)習(xí)成果轉(zhuǎn)變中的淺表學(xué)習(xí)困境;協(xié)同學(xué)習(xí)中的“傾聽-互學(xué)”機(jī)制。最后，從學(xué)生學(xué)習(xí)出發(fā)改進(jìn)教學(xué)設(shè)計(jì)：去除變式訓(xùn)練，用高階問題直指核心概念;基于教師個性，從原型問題走向情境問題;整體思考學(xué)習(xí)系統(tǒng)，優(yōu)化多個學(xué)習(xí)要素。

關(guān)鍵詞：焦點(diǎn)學(xué)生學(xué)習(xí)歷程關(guān)鍵事件化簡最簡比課堂觀察

焦點(diǎn)學(xué)生完整學(xué)習(xí)歷程觀察及關(guān)鍵事件分析法（Learningprocess Observation and Criticalincidents Analysis Approach，簡稱LOCA范式）作為新的課堂觀察范式，實(shí)現(xiàn)了課例研究核心方法論的突破。這一范式的核心內(nèi)容為“收集焦點(diǎn)學(xué)生學(xué)習(xí)的完整證據(jù)，并對學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的關(guān)鍵事件進(jìn)行分析”。它取代了“觀摩—評價(jià)”取向的傳統(tǒng)聽評課研究機(jī)制，塑造了“觀察—反思”取向的課例研究文化，幫助教師快速理解學(xué)生復(fù)雜的學(xué)習(xí)歷程與學(xué)習(xí)需求，并找到與學(xué)生學(xué)習(xí)相適切的教學(xué)策略，不斷突破自身專業(yè)發(fā)展。通過LOCA范式，觀察教育現(xiàn)場的外在刺激、尋求自我突破的內(nèi)在動機(jī)共同構(gòu)成了教師反思的核心力量，幫助教師“從熟悉科學(xué)的理論與技術(shù)的技術(shù)熟練者的專家轉(zhuǎn)型為反思性實(shí)踐者的專家”。

為了進(jìn)一步深化基于LOCA范式的課堂觀察研究，本文以小學(xué)數(shù)學(xué)《化簡最簡比》一課為例，探討如何基于課堂觀察尋找教學(xué)改進(jìn)的方向，并幫助教師破除對教育概念的若干迷思。

一、立足學(xué)習(xí)歷程，抽取關(guān)鍵事件

《化簡最簡比》是一場全國性活動中的一節(jié)公開課，歷時45分鐘。因?yàn)榛顒又黝}是合作學(xué)習(xí)與“互聯(lián)網(wǎng)+”教育，執(zhí)教教師就按照有關(guān)專家指導(dǎo)的合作學(xué)習(xí)模式開展教學(xué)，讓學(xué)生四人一組面對面坐在一起。

我來到教學(xué)現(xiàn)場后，先和身邊的小瑤同學(xué)打招呼，向她介紹自己，并詢問能不能在她旁邊進(jìn)行觀察和記錄。小瑤很溫和，同意我坐在旁邊。然后，我依次認(rèn)識了和她一組的小伙伴們。他們的座位如圖1所示。

黑板

（其他組）小高（男生）小翔（男生）小瑤（女生）小寧（女生）圖1開始上課后，我便開始觀察小瑤一組學(xué)生的學(xué)習(xí)歷程，并從中抽取關(guān)鍵事件。

（一）過往學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)導(dǎo)致學(xué)科迷思概念

課始，教師簡短地回顧了一下比的概念，請每個學(xué)生在事先準(zhǔn)備好的黃色紙片上任意寫一個比，并舉起來展示。小瑤寫的是5∶10，小寧寫的是43∶23。稍后，教師便邀請一些學(xué)生上臺，選取了若干個比匯總在黑板上，歸整出整數(shù)比（如4∶8）、小數(shù)比（如0.9∶1.5）、分?jǐn)?shù)比如34∶58、“混合比”（如3∶0.9）等四類。

之后，教師請學(xué)生在學(xué)習(xí)任務(wù)單上任意選取4個比，將其化簡為最簡整數(shù)比，并想一想“化簡比的依據(jù)是什么”。小瑤打開課本，輕聲讀出課本上的“化簡比”的依據(jù)和方法，并快速抄寫課本上例題的答案。稍后，她開始完成教師布置的任務(wù)。

接下來發(fā)生的學(xué)習(xí)過程讓我深刻感受到：學(xué)生突破數(shù)理迷思概念需要非常精巧的教學(xué)設(shè)計(jì)支持。

小瑤選擇的第三題是一個分?jǐn)?shù)比，即23∶13。她的計(jì)算過程如下：23∶13=23÷13=23×3=2。這個過程乍一看是對的，甚至許多成人也覺得2是正確的結(jié)果。然而，答案是2∶1。這兩者的本質(zhì)差別其實(shí)是上節(jié)課就應(yīng)該掌握的核心知識：2∶1（比）是一種關(guān)系概念，而2（值）是一個數(shù)值結(jié)果。此外，從計(jì)算過程來看，小瑤是通過除法運(yùn)算的方式計(jì)算的。然而，比不是除法，它們是不同的概念。

而小翔對此題的運(yùn)算為23∶13=23×9∶13×9=6∶3。顯然，他沒有理解“最簡比”的概念。而且在運(yùn)算過程中，盡管課本上寫著“同時乘以分母的最小公倍數(shù)”的方法，但是小翔似乎不清楚同分母的最小公倍數(shù)為分母本身，于是依賴直覺乘以了9。

同樣的問題，小高也有。

（二）“學(xué)困生”提出問題，“學(xué)優(yōu)生”解釋不清

很快，小組內(nèi)4個人都完成了自己的4道題。這時，教師讓大家開展組內(nèi)分享和交流。因?yàn)樾枰薪涣?道題，組長小寧決定講解自己選擇的第四題，即34∶12，但是，其他三位學(xué)生都沒有計(jì)算過這道題，他們選擇的第四題都是0.75∶2。

小寧先念了一遍自己的運(yùn)算過程：34∶12=34×12∶（12×12）=9∶144=1∶16。小高和小翔沒有什么反應(yīng)，但是，小瑤很困惑，向小寧提問：為什么要同時乘以12？小寧遲疑了一會兒，還是沒有辦法解釋，于是默默地擦掉了自己的答案。然后，小寧思索了一會兒，把12改寫為最大假分?jǐn)?shù)121，開始了新的計(jì)算：34∶12=34∶121=34×4∶（1×4）=3∶4。

此時，教師正好過來巡視組內(nèi)交流情況。她直接請組長小寧講解她的解題過程。小寧便念了一遍剛剛修正的解題過程。因?yàn)轭}目是學(xué)生隨機(jī)出具的，教師也沒有計(jì)算過，所以并不清楚答案。小寧講解完，教師示意小寧：你應(yīng)該詢問其他同學(xué)同不同意。小寧詢問后，其他三位學(xué)生依次說道：同意。教師便滿意地走了。

但是，教師一離開，小瑤立刻又向小寧提出了問題：你一開始乘以12，為什么現(xiàn)在又乘以4？小高和小翔依舊無動于衷。小寧則重新審視了一遍答案，沒有說什么，就把運(yùn)算過程改成34∶12=34×4∶121×4=3∶48=1∶16。

此時，小寧對小瑤說：“謝謝你糾正了我的錯誤，請你向大家講一遍正確的運(yùn)算過程。”小瑤輕聲說：“你發(fā)現(xiàn)的，你和大家再講一遍吧。”于是，小寧組織大家再次讀了一遍計(jì)算過程。之后，小高擦掉了自己選擇的第四題 0.75∶2，換成了34∶1.2。

（三）被動聽講與淺表思考的學(xué)生無法應(yīng)對高挑戰(zhàn)問題

隨后，小組便安靜了下來。很快，課堂也進(jìn)入了全班分享和交流的環(huán)節(jié)。小組四人都認(rèn)認(rèn)真真地端坐著，看向黑板，聽著其他小組同學(xué)講解。臨近結(jié)課前，教師邀請小寧這組上黑板分享。小寧便和小高上臺。

教師展示并請他們分享小高學(xué)習(xí)單上第四題的解題過程。小高的學(xué)習(xí)單其實(shí)和小寧的學(xué)習(xí)單是有差別的：小寧的第四題是34∶12，而小高的第四題是34∶1.2。小高的題比小寧的題更復(fù)雜一些。學(xué)習(xí)單被投影出來，小高的計(jì)算過程為34∶1.2=34×4∶（1.2×4）=3∶0.3。教師意識到了這道題的計(jì)算過程有問題，但是小寧沒有反應(yīng)過來這道題應(yīng)該怎么計(jì)算，因此無法繼續(xù)講解。

正好下課鈴聲響起，教師便讓他們下去，課后繼續(xù)探討。而此時，小瑤的學(xué)習(xí)單沒有發(fā)生任何變化，課始存在的迷思概念與困境未能得到修正和反思。

二、基于關(guān)鍵事件，分析學(xué)習(xí)困難與應(yīng)對機(jī)制

這節(jié)課上，該小組學(xué)生的學(xué)習(xí)一波三折，最后也未能理解相關(guān)的學(xué)科核心概念。這些學(xué)生所遭遇的學(xué)習(xí)困難及其應(yīng)對機(jī)制、這位教師所秉持的教學(xué)理念及其教學(xué)效果，需要我們基于關(guān)鍵事件，進(jìn)行認(rèn)真分析。

（一）三次學(xué)習(xí)成果轉(zhuǎn)變中的淺表學(xué)習(xí)困境

“學(xué)優(yōu)生”（組長）小寧的學(xué)習(xí)成果連續(xù)發(fā)生了三次轉(zhuǎn)變，但是對每次轉(zhuǎn)變，小寧都難以解釋其中的算理。

她第一次的學(xué)習(xí)成果，盡管算法對，結(jié)果對，但是沒有理解算理（可能理解了應(yīng)用比的基本性質(zhì)，但是不理解化成沒有公因數(shù)的整數(shù)的比），因而沒有采取最優(yōu)策略（乘以分母的最小公倍數(shù)）。

她第二次的學(xué)習(xí)成果，盡管意識到要尋找分母的最小公倍數(shù)，但是把12改寫為最大假分?jǐn)?shù)121后，無法理解其乘以分母的最小公倍數(shù)的計(jì)算，導(dǎo)致結(jié)果出錯。

她第三次的學(xué)習(xí)成果終于正確且最優(yōu)。但是，她還是無法說出為什么，即還是不清楚算理（背后的思想、推理、依據(jù)）。因此，在最后的全班分享和交流中，當(dāng)臨時面對一個類似的題目時，小寧無法解決。

而小瑤、小高、小翔的學(xué)習(xí)亦是如此：即便上節(jié)課已經(jīng)學(xué)習(xí)了相關(guān)的計(jì)算過程，并且總結(jié)出了相應(yīng)的計(jì)算依據(jù)，但還是不清楚如何遷移運(yùn)用，以至于錯漏百出。

這說明，很多學(xué)生長期處于變式訓(xùn)練的淺表學(xué)習(xí)中，僅僅形成了有關(guān)概念的低階思維。這類淺表學(xué)習(xí)的普遍特點(diǎn)是“淺層次認(rèn)知，難以在知識之間建立深度聯(lián)系”“以機(jī)械記憶的方法完成學(xué)習(xí)任務(wù)”。因此，他們雖然具備了很好的計(jì)算能力，熟練掌握了算法，但是對算理的認(rèn)識是模糊的。這樣，一旦題目發(fā)生變化或增加難度，他們就難以應(yīng)對了。

（二）協(xié)同學(xué)習(xí)中的“傾聽—互學(xué)”機(jī)制

學(xué)習(xí)共同體理念倡導(dǎo)的課堂變革以協(xié)同學(xué)習(xí)為核心。協(xié)同學(xué)習(xí)與合作學(xué)習(xí)都是小組學(xué)習(xí)的一種樣態(tài)。但是在實(shí)踐中，協(xié)同學(xué)習(xí)常常被視作小組合作學(xué)習(xí)或所謂的新合作學(xué)習(xí)。由此衍生了較多的認(rèn)知困擾和實(shí)操混淆，尤其是當(dāng)前對合作學(xué)習(xí)的批判日益增加，甚至出現(xiàn)了合作學(xué)習(xí)“阻礙了教學(xué)的進(jìn)一步變革與發(fā)展”等聲音。因此結(jié)合具體實(shí)踐，澄清協(xié)同學(xué)習(xí)與合作學(xué)習(xí)的區(qū)別，是一線教學(xué)迫切需要的。

教育研究與評論課堂觀察/2019年第4期百家講壇本節(jié)課所屬教研活動的主題是合作學(xué)習(xí)，代表了合作學(xué)習(xí)諸多變式中比較經(jīng)典的一類。而課上學(xué)生所表現(xiàn)出的兩種不同的學(xué)習(xí)狀態(tài)，可以被視為對合作學(xué)習(xí)、協(xié)同學(xué)習(xí)有關(guān)概念一個具體的說明。

在組內(nèi)分享和交流環(huán)節(jié)，小寧（組長，“優(yōu)秀生”）和小瑤（組員，“學(xué)困生”）之間發(fā)生了較多的對話。按照教師的設(shè)計(jì)，組長要對組員進(jìn)行講解（教學(xué)）。長期以來，學(xué)生習(xí)慣了這樣的模式：組員主動聚焦組長，等待組長發(fā)言;組長主動講解自己的認(rèn)識與思考。然而，在主動講解中，小寧只是不斷重復(fù)自己已經(jīng)知道的內(nèi)容，而沒有帶來有價(jià)值的見解——沒有促進(jìn)組員的理解。聚焦本次對話的關(guān)鍵，小瑤提出了兩個問題：為什么同時乘以12？為什么同時乘以4？其背后真正的疑惑是：面對分?jǐn)?shù)與整數(shù)的“混合比”，怎么才能找到分母的最小公倍數(shù)？正因?yàn)樾‖幍膬纱翁釂枺幉艃纱涡薷牧俗约旱膶W(xué)習(xí)成果。

可見，讓學(xué)習(xí)真正向前推進(jìn)的，不是此類合作學(xué)習(xí)中所展現(xiàn)出的由“懂了”的學(xué)生對其他學(xué)生進(jìn)行解釋（指導(dǎo)），而是由“不懂”的學(xué)生對其他學(xué)生進(jìn)行提問，引發(fā)思考、交流和論證。因此 ，所謂的“能夠向別人解釋的兒童就是已經(jīng)理解的兒童”，其實(shí)質(zhì)應(yīng)該是“能夠回應(yīng)‘不懂’的兒童與能夠說出‘不懂’的兒童才是可能走向理解的兒童”。因此，協(xié)同學(xué)習(xí)，要求以互相學(xué)的關(guān)系代替互相教的關(guān)系，并非學(xué)理上的標(biāo)新立異或自我臆想，而是真正對學(xué)習(xí)歷程進(jìn)行深刻觀察后兒童的學(xué)習(xí)規(guī)律使然。

進(jìn)一步的，我們可以發(fā)現(xiàn)，互學(xué)的前提是互相傾聽，而不是互相管理。作為組長，小寧調(diào)度組員的學(xué)習(xí)進(jìn)程，管理組員的發(fā)言和紀(jì)律。然而，這種強(qiáng)制管理下的互教模式并沒有實(shí)現(xiàn)組員的學(xué)習(xí)發(fā)展。小瑤、小高、小翔的一些學(xué)科迷思概念幾乎無法攻克，只有小寧自己因小瑤的追問而稍有進(jìn)步。而這一進(jìn)步卻是所有學(xué)生的成長關(guān)鍵 ，即保持傾聽，接納其他人的提問，并進(jìn)行自我思考與反芻，實(shí)現(xiàn)對概念的澄清和理解。可以說，小寧最后能夠走向優(yōu)化的策略，既得益于小瑤的提問，也得益于自身具有的愿意傾聽與接納的學(xué)習(xí)方法。這一“傾聽-互學(xué)”的機(jī)制，是協(xié)同學(xué)習(xí)的基本范式，也是學(xué)生實(shí)現(xiàn)真實(shí)學(xué)習(xí)的必由之路。

這里，值得一提的是，小瑤的兩次提問都是在小組內(nèi)進(jìn)行的，沒有當(dāng)著教師的面提出。可見，日常模式化教學(xué)會造成學(xué)生的自我保護(hù)與表演式回應(yīng)，從而壓迫了學(xué)生的學(xué)習(xí)。因此，教師要真正創(chuàng)設(shè)寬松的課堂氛圍，讓學(xué)生愿意和敢于提問，并不容易。

三、 從學(xué)生學(xué)習(xí)出發(fā)改進(jìn)教學(xué)設(shè)計(jì)

推動教學(xué)改進(jìn)是課例研究的核心目標(biāo)。基于上述對關(guān)鍵事件的分析，我們可以進(jìn)一步研究如何從學(xué)生的學(xué)習(xí)事實(shí)出發(fā)，改進(jìn)教學(xué)設(shè)計(jì)。

（一）去除變式訓(xùn)練，用高階問題直指核心概念

小寧他們在上這節(jié)課之前，已經(jīng)初步學(xué)習(xí)了“化簡最簡比”，但是還存在兩個迷思概念：（1）對化簡最簡比的方法不清楚，沒有理解為什么化簡到最簡整數(shù)比需要引入最小公倍數(shù)、最大公約數(shù)等概念;（2）基于比的概念的學(xué)習(xí)，沒有理解定義最簡比的意義是什么。因此，他們集中出現(xiàn)了不會化簡和不能化到最簡兩個現(xiàn)象。

如果我們尊重和理解小寧等人的學(xué)習(xí)歷程，從他們的“不懂”開始，便可打開改進(jìn)教學(xué)設(shè)計(jì)的突破口：數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)需要以高挑戰(zhàn)問題涵蓋低階問題，以高觀點(diǎn)提升認(rèn)知結(jié)構(gòu)的概括度，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)遷移。該教學(xué)設(shè)計(jì)鋪陳了大量的變式訓(xùn)練，如整數(shù)比、分?jǐn)?shù)比、小數(shù)比等，但是碎而無用，不利于學(xué)生的學(xué)習(xí)遷移。

（二）基于教師個性，從原型問題走向情境問題

每位教師要改進(jìn)自己的課堂，不應(yīng)完全放棄自己的教學(xué)習(xí)慣，去復(fù)制或模仿其他教師的授課方式，而應(yīng)從自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，理解學(xué)生的學(xué)習(xí)事實(shí)，以學(xué)生的學(xué)習(xí)邏輯優(yōu)化自己的教學(xué)邏輯，調(diào)整教學(xué)設(shè)計(jì)。

對于這節(jié)課，我們可以順著原本的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行調(diào)整。教師想讓學(xué)生多次計(jì)算不同形式的比，從而掌握化簡最簡比的方法，但對于學(xué)生來說，困難重重。如果先不考慮生活情境，僅考慮算法原型，其實(shí)只需選取34∶1.2一例，就可以改進(jìn)教學(xué)設(shè)計(jì)。

這道題是分?jǐn)?shù)與小數(shù)比的化簡，可產(chǎn)生比較多的解法。比如，先化成整數(shù)與小數(shù)比34×4∶（1.2×4）=3∶4.8或34×43∶1.2×43=1∶1.6 ，再化成整數(shù)比30∶48或10∶16，然后找最大公約數(shù)。或者，先化成分?jǐn)?shù)與整數(shù)比152∶12，再化成整數(shù)比15∶24，然后找最大公約數(shù)。又或者，先化成小數(shù)比0.75∶1.2，再化成整數(shù)比75∶120，然后找最大公約數(shù)。還可以，先化成分?jǐn)?shù)比34∶1210，再找分母的最小公倍數(shù)20，化成整數(shù)比15∶24，然后找最大公約數(shù)……學(xué)生采用多種解法便可實(shí)現(xiàn)多次計(jì)算不同形式的比。這時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生探討核心問題：分析并尋找化簡比的最優(yōu)策略，加深對公倍數(shù)和公約數(shù)概念的理解與運(yùn)用。

因此，原學(xué)習(xí)單上呈現(xiàn)的問題“請把下面的比化成最簡整數(shù)比，并想想其化簡依據(jù)”，可以調(diào)整為“對于34∶1.2，請使用盡可能多的方法化成最簡整數(shù)比，并寫出你的依據(jù)和想法。寫完后，請和同桌互學(xué)分享思路，并寫一寫化簡比的最優(yōu)方法是什么”。這一改進(jìn)在聚焦核心問題的基礎(chǔ)上優(yōu)化了原有的“交流答案”的學(xué)習(xí)任務(wù)，將之轉(zhuǎn)變?yōu)樘接懜嗑唧w的學(xué)科學(xué)習(xí)方法和同伴學(xué)習(xí)方法。

同時，為了幫助學(xué)生突破第二個迷思概念（定義最簡比的意義是什么？為什么要定義最簡比？），下一步設(shè)計(jì)可以深化為“如何將34∶1.2轉(zhuǎn)換為具體生活情境？”，也就是“比作為一種關(guān)系，在生活中的體現(xiàn)是什么？”。如果學(xué)生學(xué)習(xí)水平較高，則還可以進(jìn)一步優(yōu)化：教師搭建的生活情境如何轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生的動手操作？

（三）整體思考學(xué)習(xí)系統(tǒng)，優(yōu)化多個學(xué)習(xí)要素

學(xué)生所處的學(xué)習(xí)環(huán)境中，有多種要素發(fā)生著互動。要提高學(xué)生學(xué)習(xí)的成效，需要轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)系統(tǒng)中的諸多要素。而轉(zhuǎn)變的依據(jù)與方向，便是課例研究中學(xué)生所呈現(xiàn)的學(xué)習(xí)困難與學(xué)習(xí)需求。

1.在學(xué)習(xí)單上，要有學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，留下思考表達(dá)的空白。

該課教師設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)單中，沒有留下空白，僅僅在四個練習(xí)題后面補(bǔ)充了一句話：完成后小伙伴互相檢查答案是否正確。這樣的指導(dǎo)在許多學(xué)習(xí)單（任務(wù)單）中都可以看到。然而，校對答案只是對學(xué)習(xí)最終成果的評價(jià)，會遮蓋學(xué)習(xí)過程中學(xué)生對核心概念的迷思：許多學(xué)生雖然計(jì)算正確，但對算理、算法仍有模糊的地方。因此，在學(xué)習(xí)單上，教師要有學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，讓學(xué)生通過對問題的交流，將思考的過程用自己的語言表達(dá)出來。此外，在學(xué)習(xí)單上，教師要留下空白，讓學(xué)生不僅可以記錄計(jì)算過程，而且可以闡述分析方法。這是我們觀察和了解學(xué)生語言和思維的最佳方法，也讓表達(dá)能力稍弱或不敢表達(dá)的學(xué)生能獨(dú)立落筆在先。

2.在課堂上，取消模式化語言，鼓勵個性化表達(dá)。

合作學(xué)習(xí)的模式化不僅體現(xiàn)在教學(xué)設(shè)計(jì)的固化上，甚至體現(xiàn)在交流語言的固化上，諸如每個學(xué)生都被要求說“請問你們都同意我的觀點(diǎn)嗎？”“謝謝你對我的批評指正”等語言。這節(jié)課上，一旦教師出現(xiàn)，小瑤和小寧就迅速以模式化語言應(yīng)答;而教師不在時，小瑤和小寧都是以非常自然的語言開展交流的。兒童的學(xué)習(xí)本質(zhì)上是不斷通過外部對話，實(shí)現(xiàn)內(nèi)部的解釋和論證。兒童的真實(shí)學(xué)習(xí)是在自然、流暢的對話中開展的。這種對話需要自由、平等的環(huán)境。教師要鼓勵學(xué)生用自己的語言表達(dá)，尤其是表達(dá)自己的困惑，并引導(dǎo)學(xué)生不斷優(yōu)化、豐富表達(dá)。這節(jié)課上，小瑤的兩次提問都是對計(jì)算現(xiàn)象的提問，如果她的思維進(jìn)一步優(yōu)化和豐富，她就能夠意識到其實(shí)這是對如何尋找最小公倍數(shù)的困惑。

3.在課堂上，給予充足的學(xué)習(xí)時間，鼓勵多樣的解決思路。

本課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，每個學(xué)生都要解決4道題目，而最后只討論一道組長做過的題目。這實(shí)質(zhì)上無法幫助學(xué)生深化對問題和概念的理解。這也是上述改進(jìn)要取消變式訓(xùn)練，聚焦核心問題的原因。而探究核心問題時，學(xué)生要獲得盡可能多的方法和路徑，并對其進(jìn)行分析和評價(jià)，從而體會和總結(jié)最優(yōu)化策略，并建立策略模型。在這一過程中，學(xué)生需要有充分的學(xué)習(xí)時間。因此，教師需要依據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)任務(wù)與探究邏輯，合理劃分課堂時間，保障學(xué)生經(jīng)歷完整的探索過程，醞釀其思維走向成熟的基礎(chǔ)。

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