從“點(diǎn)在弧上動(dòng)”看專題復(fù)習(xí)

儲(chǔ)著峰

摘 要：如何有效的搞好中考前的專題復(fù)習(xí)？這是許多一線老師關(guān)心的問(wèn)題。本文以專題《動(dòng)點(diǎn)求最值——點(diǎn)在弧上動(dòng)》為例，從試題的選擇、知識(shí)的準(zhǔn)備、試題的分類、試題的評(píng)講、問(wèn)題串解、歸納總結(jié)以及變式拓展等方面談?wù)勛约旱囊恍┱J(rèn)識(shí)。

關(guān)鍵詞：基礎(chǔ)知識(shí);分類;問(wèn)題串;變式;提升

引言：《動(dòng)點(diǎn)求最值》是中考中常見(jiàn)的一種題型，也是較難的一種題型，而點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑又是多種多樣的，其中一種類型就是“點(diǎn)在弧上動(dòng)”。本人在專題復(fù)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，如果能夠?qū)⒈姸嘀R(shí)點(diǎn)分門別類，問(wèn)題串解，歸納提升，精心設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，就能較好的突破難點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)專題復(fù)習(xí)的有效和高效。

一、精選試題

1、（2016年安徽中考題）

如圖1，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC.求線段CP長(zhǎng)的最小值。

2、（2016湖北鄂州）

如圖2，菱形ABCD的邊AB=6，∠B=60°，P是AB邊上一點(diǎn)，BP=3，Q是CD邊上一點(diǎn)，梯形APQD沿直線PQ折疊，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F. 求CF的最小值.

3、（2017·威海）

如圖3，△ABC為等邊三角形，AB=2.若P為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠ACP，則線段PB長(zhǎng)度的最小值為_____.

4、（2011年安徽中考題）

如圖4，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為 ?（0°< ? ?<180°），得到△A1B1C.

設(shè)AC的中點(diǎn)為E，A1B1的中點(diǎn)為P，AC=a，連接EP，當(dāng) ? 為多少度時(shí)，EP的長(zhǎng)度最大，最大值為多少？

二、知識(shí)準(zhǔn)備

以上四個(gè)例題都與下面的基礎(chǔ)知識(shí)有關(guān)：

1、圓外一點(diǎn)與圓上各點(diǎn)的連線中，最短的是哪一條？最長(zhǎng)的是哪一條？

2、圓內(nèi)一點(diǎn)與圓上各點(diǎn)的連線中，最短的是哪一條？最長(zhǎng)的是哪一條？

因此，這兩個(gè)問(wèn)題可作為復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)，復(fù)習(xí)內(nèi)容包括畫圖表示及簡(jiǎn)要證明。

三、分類評(píng)講

仔細(xì)分析不難發(fā)現(xiàn)：第1題易求出∠APB=90°，第3題易求出∠APC=120°，這兩題都屬于“點(diǎn)動(dòng)角不變”的類型，若放在一起評(píng)講和練習(xí)，然后加以總結(jié)，對(duì)于學(xué)生以后解決此類問(wèn)題會(huì)有很大幫助。同樣，第2題根據(jù)對(duì)稱性易得PF=3，第4題根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)易得PC= a，這兩題都屬于“點(diǎn)動(dòng)（到定點(diǎn)）距離不變”的類型，可放在一起評(píng)講和練習(xí)。

四、問(wèn)題串解

為更好的解決問(wèn)題，針對(duì)題1，我設(shè)計(jì)了以下問(wèn)題串：

1、∠APB等于多少度？

2、點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑是怎樣的？

3、CP的長(zhǎng)度最小時(shí)，點(diǎn)P在何位置？

4、線段CP長(zhǎng)的最小值是多少？

針對(duì)題2，我設(shè)計(jì)了以下問(wèn)題串：

1、PF等于多少？

2、點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑是什么？

3、CF的長(zhǎng)度最小時(shí)，F(xiàn)在何位置？

4、CF的最小值是多少？

設(shè)計(jì)問(wèn)題串，為學(xué)生搭建了梯子，極大的降低了解決問(wèn)題的難度，提高了同學(xué)們解題的信心，同時(shí)，也為同學(xué)們解決這一類問(wèn)題提供了方法。

對(duì)于題3和題4，教師可鼓勵(lì)學(xué)生自己設(shè)計(jì)問(wèn)題串，進(jìn)而逐步解決問(wèn)題，從中獲得解題經(jīng)驗(yàn)，提高解題能力。

五、總結(jié)提升

本專題總結(jié)要點(diǎn)如下：

1、點(diǎn)動(dòng)角不變→點(diǎn)在弧上動(dòng)。即以動(dòng)點(diǎn)為頂點(diǎn)的角度不變，此時(shí)點(diǎn)在以動(dòng)點(diǎn)所在三角形的外接圓上的弧上運(yùn)動(dòng)。

2、點(diǎn)動(dòng)距離不變→點(diǎn)在弧上動(dòng)。即動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離不變，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)在以定點(diǎn)為圓心，以動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)之間的距離為半徑的弧上運(yùn)動(dòng)。

3、化動(dòng)為靜，確定最值時(shí)圖形的特殊位置，再根據(jù)靜態(tài)的圖形求出最值。

以上總結(jié)，一方面幫助學(xué)生梳理了知識(shí)，獲得基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，能夠在復(fù)雜圖形中快速找到解決問(wèn)題的途徑，更重要的是教會(huì)了學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法，增強(qiáng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力，同時(shí)也提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

六、變式拓展

對(duì)于一道好的試題，我們不能僅停留在能解的層次上，而要站到更高的層次欣賞這道試題。針對(duì)本專題，可以進(jìn)一步設(shè)計(jì)以下問(wèn)題：

題1可設(shè)計(jì)：求CP長(zhǎng)的取值范圍。

題2可設(shè)計(jì)：改變BP的長(zhǎng)度，結(jié)果如何？

題3可設(shè)計(jì)：求BP能夠掃到的面積。

題4可設(shè)計(jì)：將中題中 ? 的取值范圍改為0°< ? <360°，答案有變化嗎？此時(shí)，EP的最小值是多少？

總之，要做好專題復(fù)習(xí)，教師要做有心人，要認(rèn)真研究課程標(biāo)準(zhǔn)，研究考題，研究學(xué)生，我們堅(jiān)信，總有一種方法適合自己的教學(xué)，總有一種方法適合我們的學(xué)生學(xué)習(xí)。

參考文獻(xiàn)：

[1]黃玉梅.如何利用思維導(dǎo)圖優(yōu)化初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課[J].學(xué)周刊，2017（31）：95-96.

[2]武麗虹.凸顯專題特點(diǎn) ?提高復(fù)習(xí)效率[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（20）：45-48.