試論數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)解題技巧中運用的價值

廖瓊

摘 要 數(shù)與形是數(shù)學知識的兩個基本范疇，在中學數(shù)學中，數(shù)與形是最基本的兩個對象，它們構(gòu)成了中學數(shù)學知識內(nèi)容的兩個基礎板塊。把數(shù)與形有機地結(jié)合起來，可以把數(shù)與形這兩大數(shù)學知識板塊聯(lián)接在一起，形成更為有效的知識體系，并使數(shù)與形在更高層次上達到統(tǒng)一，進而顯示數(shù)學知識內(nèi)在的關(guān)聯(lián)。本文筆者結(jié)合自己的教學實踐，就數(shù)形結(jié)合在解決函數(shù)中的技巧提出了幾點具體的探究策略。

關(guān)鍵詞 數(shù)形結(jié)合;初中數(shù)學;函數(shù)問題;解題技巧;有效策略

中圖分類號：A，O175.9 文獻標識碼：A?????? 文章編號：1002-7661（2019）10-0192-01

“數(shù)形結(jié)合”是初中數(shù)學中的一種重要的思想方法，“數(shù)”和“形”是數(shù)學中兩個最基本的概念。數(shù)是數(shù)量關(guān)系的體現(xiàn)，形是空間形式的體現(xiàn)，兩者是對立統(tǒng)一的，我們在探討數(shù)量關(guān)系時常常借助于圖形直觀地去研究;而在研究圖形時，又常借助于圖形間隱含的數(shù)量關(guān)系去求解。即將數(shù)與形靈活地轉(zhuǎn)換，運用彼此間的相互聯(lián)系和作用，去有效地探求問題的解答，使得整個教學過程更加直觀、更有效。

一、數(shù)形結(jié)合思想與函數(shù)結(jié)合運用的必要性

初中數(shù)學函數(shù)的教學不僅體現(xiàn)的是教師對于知識點的數(shù)形轉(zhuǎn)化能力，同時也是為學生提供接受這些知識儲備。授課教師將數(shù)形結(jié)合作為教學中的一條主線，將這種思想在數(shù)學實踐中應用得更加廣泛，以將抽象的函數(shù)數(shù)學概念與復雜的數(shù)量關(guān)系描述得更加形象化和具體化，將函數(shù)中的定量分析轉(zhuǎn)化為數(shù)形。并且將數(shù)與形的結(jié)合在函數(shù)間進行靈活的轉(zhuǎn)換，在擴展學生數(shù)學解題思路的同時，也使得教師能夠不斷地更新自己的教學思維。有時候這樣的變化關(guān)系，能夠使得我們找到一些解決函數(shù)計算問題的新技巧，及時發(fā)現(xiàn)計算過程中所遺漏的條件。而學生，則可以巧妙運用這種數(shù)形結(jié)合分析的能力，進行熟練運用。例如，在一次函數(shù)學習中，要讓學生的思想中時刻想著坐標聯(lián)系與構(gòu)造聯(lián)系。而這種坐標的聯(lián)系是通過建立相應的比較適合方程的坐標系達到函數(shù)方程式與圖形的轉(zhuǎn)化。比如，當涉及y=3x+5或y=x，這樣的形式就是y=kx+b的演變，當b=0時就形成了第二個方程式，也就是過原點的直線。通過這樣的直接聯(lián)想，使用恰當?shù)膱D像直線聯(lián)想與繪圖，從而達到數(shù)形的互相轉(zhuǎn)化。

二、數(shù)形結(jié)合在函數(shù)解題技巧中運用的具體路徑

1.通過數(shù)形轉(zhuǎn)化，提升解題技巧。解題過程就是不斷地將未知轉(zhuǎn)化為已知的過程，在思維中構(gòu)造出一種相關(guān)的數(shù)學對象，一種新的數(shù)學形式?！昂瘮?shù)及其圖象”是初中數(shù)學的一個重要內(nèi)容，同時也是一個難點內(nèi)容，有關(guān)函數(shù)的問題讓許多學生感到畏懼。其實函數(shù)與方程、不等式之間有著非常密切的聯(lián)系，在解題時要善于將它們“牽手”，將它們的“形”與對應的“數(shù)”結(jié)合起來，往往會使很多棘手問題迎刃而解，且解法簡捷、獨特。

例1：已知方程x2–2px+10=0有一個根大于1，另一個根小于1，求p的取值范圍。

分析：由二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系知：方程x2–2px+10=0的兩個根是拋物線y=x2–2px+10與x軸的兩個交點的橫坐標，因為一根大于1，另一根小于1，所以拋物線與x軸的兩個交點一個在1的左邊，另一個在1的右邊，且開口向上，如圖可知當x=1時，函數(shù)值y<0，即12-2p+10<0，故p>5.5。

此解法利用函數(shù)圖象的直觀性，把抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結(jié)合起來，化難為易，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合解題的有效性。綜上來看，該例子是有關(guān)函數(shù)與不等式、方程的問題，解這類題時要善于將問題中的數(shù)與形結(jié)合起來進行思考，將抽象思維與形象思維融合在一起，通過“以形助數(shù)”“以數(shù)解形”的思想策略，揭示出隱含在其內(nèi)部的幾何背景，使復雜的問題簡單化，抽象的問題具體、直觀化，從而有效地找到解題途徑，同時也能開闊和發(fā)展學生的思維。

2.通過數(shù)形溝通，培養(yǎng)學生的聯(lián)想能力。豐富的聯(lián)想是創(chuàng)造性思維的一個基本特點，其基本特征是由當前面臨的事物回想起相關(guān)事物并做出判斷。教學時，學生的創(chuàng)造性思維除了源于現(xiàn)實經(jīng)驗之外，更重要的是需要豐富的數(shù)學經(jīng)驗。而數(shù)學經(jīng)驗又是在教學中不斷進行積累的結(jié)果。教學中要重視學生從數(shù)學知識中提煉本質(zhì)的規(guī)律，在學生頭腦中形成由定義、定理、公式網(wǎng)絡化構(gòu)成的數(shù)學知識板塊，一旦學生悟透知識的來龍去脈，建立數(shù)與形的有效溝通，就具有把數(shù)形知識交互聯(lián)想的能力，進而使數(shù)學思維形成網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)。

例2：求方程 =–x2–3x的解的個數(shù)。

分析：根據(jù)題意很容易把這道題用解分式方程的方式來解決，而實際上對于初中學生來說，這樣的方法是比較麻煩的，實際上這道題可以利用函數(shù)的性質(zhì)和特點來解決，如果y1= ，y2=–x2–3x，當y1=y2時，方程的解就成了這兩個函數(shù)的交點，通過畫圖，很快就可以找出解只有1個。所以創(chuàng)造性思維不是僅憑機遇，只有學生在具有相當?shù)幕A和達到一定熟練程度的情況下，才能分析和辨認組成問題的知識組塊，才會有跳躍性的創(chuàng)造性思維。

3.借助數(shù)形轉(zhuǎn)換，培養(yǎng)學生的數(shù)學直感。

三、結(jié)語

綜上所述，數(shù)形結(jié)合具體地說就是將抽象數(shù)學語言與直觀圖形結(jié)合起來使抽象思維與形象思維結(jié)合起來，通過“數(shù)”與“形”之間的對應和轉(zhuǎn)換來解決數(shù)學問題。它不僅是一種重要的解題方法，而且也是一種重要的思維方法，它們互相滲透，相互轉(zhuǎn)化，使得以代數(shù)法研究函數(shù)問題，以函數(shù)研究代數(shù)成為可能，從而有效培養(yǎng)學生的基本解題素質(zhì)。

參考文獻：

[1]閆玉葉.談初中“數(shù)形結(jié)合”思想在函數(shù)中的運用策略[J].數(shù)理化解題研究（初中版），2012（11）：24-25.