中職一元二次不等式應用題教學初探

洪麗莉

[摘? ? ? ? ? ?要]? 一元二次不等式應用題的教學不僅應該結合學生的學情，而且應用題的設置要緊貼生活實際。中職學生通過學習一元二次不等式的實際應用，一方面可以加強學生對一元二次不等式解題步驟的鞏固，另一方面通過實際應用學生可以體會到實際生活和數學的密切聯系，從而達到學以致用的目的。

[關? ? 鍵? ?詞]? 一元二次不等式;應用題;教學

[中圖分類號]? G712? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2019）19-0072-02

在實際生活中存在著很多的不等量關系，這些都需要用不等式來進行解決。在中職數學中，一元二次不等式的解法占有很重要的內容，同時這也是我們進一步學習不等式的重要基礎。通過教學，學生已經能初步掌握解一元二次不等式ax2+bx+c>0，ax2+bx+c<0的基本步驟：（1）化成標準形式;（2）判定△的符號;（3）求出方程ax2+bx+c=0的實根;（4）寫出不等式的解集。整個過程可以簡記為：一化、二判、三求、四寫。

基于學生已經初步掌握一元二次不等式解法的基礎上，筆者結合生活中的實際問題，借助數學建模的思想，將實際問題用一元二次不等式模型來建立，讓學生了解一元二次不等式的實際應用，不僅可以鍛煉學生的解題能力，同時也能提高學生學習數學的積極性。由于涉及一元二次不等式的解法和應用題的題型，作為教師，如何很好地將一元二次不等式與應用題結合起來進行教學，同時培養學生一元二次不等式應用題的解題能力，我覺得應該從以下幾個方面入手：

一、培養學生應用題的審題能力

由于中職學生的數學基礎知識不牢固，加上平時的閱讀量較少，而應用題的文字描述較多，數學符號也多，涉及范圍較廣，因此很多學生一看到應用題心里的第一反應就是放棄。事實上閱讀能力是所有基礎學科的要求，但是單單培養學生的閱讀能力，不足以讓學生明白應用題的要求，因為數學是一門嚴謹的學科，而一道應用題里可能就包含分類、比較、推理等活動。因此，要培養學生的應用題讀題能力，對應用題的分析要求學生不能急于計算，要留有思考的余地。首先得認真仔細地審題，找到題目中的關鍵字句和數字，排除干擾信息，把握題目的設計意圖，抓住題目條件內在聯系，將所學過的數學知識與題目的問題聯系起來，只有理解了題目所表達的意思，才能進一步借助數學建模，將實際問題轉換成數學問題。

二、應用題的選取應具備生活化

為了調動學生學習的熱情，筆者認為一元二次不等式應用題的選取應注重生活化，在學生初步掌握了一元二次不等式的解法后，應用題的出現實際上對學生提出了更高的要求，很多學生一聽到應用題內心會自動排斥，認為應用題肯定會很難，很偏離生活。因此，為了讓學生切實體會到一元二次不等式的應用，教師在設置題目時應將題目盡量生活化，消除學生對應用題的恐懼感，拉近學生與應用題的距離。一元二次不等式的應用題很多都與利潤問題有關，作為中職教師可以從這點入手，利潤題也是中職學生會感興趣的題目，尤其對財會相關專業的學生來講，這類型題目與他們的專業課有一定的聯系，因此，應用題的設置應從學生熟悉的事物入手，讓學生感受到身邊的數學，體驗了數學的實際作用并體會到數學的魅力。

三、題目的設置應盡量簡單化

由于中職生的數學基礎薄弱，再加上學生面對應用題存在畏難情緒，筆者認為一元二次不等式應用題的設置應簡單化、貼合學生的實際能力，簡單的應用題能讓學生找回學習數學的信心，提高他們的積極性。所以教師在初步設置一元二次不等式應用題時，可以事先將變量之間的關系在題目當中交代清楚，學生只要根據變量的關系相應地列出不等式即可。在學生對一元二次不等式的應用題有了一定了解后，教師可加大一點難度，在題目中函數關系不直接給出，而讓學生試著根據題目要求找出函數關系，并列出不等式，循序漸進，讓學生先產生自信心，繼而讓學生化被動學習為主動學習。

比如以下三道一元二次不等式應用題的設置就很好地體現了以上幾個特點：

（一）一元二次不等式在利潤方面的應用題

例1.某水果店銷售的一款進口櫻桃正在做特價，已知銷售的這款櫻桃重量x（公斤）與創造的利潤y（元）之間有如下的關系：y=-x2+50x，如果這家水果店計劃一天內通過銷售這款櫻桃產生不低于600元的利潤，那么一天內大約應該銷售這款櫻桃多少公斤？

【題目分析】本道題目是一道典型的利潤題，題目當中已經明確列出y和x之間的關系，教師應引導學生抓住題目中的關鍵句y=-x2+50x，學生通過審題，可以自行找出函數式和600之間的不等式關系。

解：設一天內銷售這款櫻桃x公斤，依題意得

-x2+50x≥600

整理，得x2-50x+600≤0

∵△=（-50）2-4×600=100>0

∴方程x2-50x+600=0有兩個實數根x1=20，x2=30。

所以不等式的解為20≤x≤30。

當這家水果店在一天內銷售這款櫻桃的重量不小于20公斤且不大于30公斤時，這家水果店能夠獲得不低于600元的利潤。

【評析】這是一道很典型的利用一元二次不等式來解決的應用題，對這種題目學生只要按照四個步驟來做題，基本就可以獲得相應的解題思路。這四個步驟分別為：（1）審題，找出關鍵量和不等關系;（2）引進數學符號，用不等式表示不等關系;（3）解不等式;（4）回到實際問題。對中職的學生而言，要將一道應用題用數學語言描述出來是有一定難度的，所以這道題目的設置，將y與x之間的函數關系寫在題目中，這樣在一定程度上就降低了題目的難度，學生只需要根據題目的要求將不等式列出即可。在解題過程中，由于本道題a<0，因此在解答時需將不等式化成標準式，這個轉化的過程對個別學生來說會忘記做，從而導致計算出錯，因此教師在講解時，應強調轉化的步驟。

例2.某制鞋廠生產一款運動鞋，日銷貨量x雙與貨價P元/雙之間的關系為P=200-3x，生產x雙所需成本為C=400+20x元，問：該廠日產量多少雙時，日獲利不少于2000元？

【題目分析】通過第一遍審題，學生第一反應會無從下手，此時，教師應從旁進行引導，抓住關鍵句：日銷貨量x雙與貨價P元/雙之間的關系，將兩者相乘，算出日銷售額，接著讓學生進行第二遍讀題分析，引導學生注意觀察題目的問題與利潤有關，因此，日獲利=日銷售額-成本，這個關系學生可以自行發現，并能順利地列出不等式。

解：設該廠日獲利為y元，則

y=Px-C

=（200-3x）x-（400+20x）

=-3x2+180x-400

由題意y≥2000知，-3x2+180x-400≥2000

整理，得x2-60x+800≤0

∵△=（-60）2-4×800=400>0

∴方程x2-60x+800=0有兩個實數根x1=20，x2=40。

所以不等式的解集為：{x∈N* 20≤x≤40}

當日產量不小于20雙且不大于40雙時，日獲利不少于2000元。

【評析】這道題目解題的關鍵是將利潤y表示為日銷量x的函數，根據日利潤=單價×日銷售量-成本，就可以將y與x之間的函數關系列出，最后下結論時要注意x的取值為正整數。本題比例1稍微復雜一點，在題目難度的設置上，遵循學生的認知規律，循序漸進，由淺入深，化難為易，慢慢引導學生層層深入，體現了知識結構的科學性、條理性和嚴密性。

（二）一元二次不等式在長度方面的應用題

例3.某集團公司打算在長為40米，寬為30米的一塊長方形地面建造一個長方形兒童游樂園，要求游樂園四周余下的空地修建成同樣寬的通道，如果游樂園的面積不小于總面積的一半，求通道的寬度范圍。

【題目分析】學生從題目的描述不一定能明白“游樂園四周余下的空地修建成同樣寬的通道”這句話的意思，因此教師應引導學生將題目再讀一遍，同時邊審題邊畫圖，只要把圖畫出來，那么這題也就成功了一半，本題還涉及長方形的面積公式，有了圖形，假設通道寬度為x，利用x算出游樂園的長和寬，學生就可以自然而然地列出不等式。

解：設通道寬度為x米，依題意得

（40-2x）（30-2x）≥（1/2）×40×30，其中0

整理，得x2-35x+150≥0

∵△=（-35）2-4×150=625>0

∴方程x2-35x+150=0有兩個實數根x1=5，x2=30。

解得0

故所求通道的寬度范圍為（0，5]

【評析】這是一道先建立函數與不等式的模型后解不等式的題目，本道題通過圖示可以直觀地看出游樂園場地和通道之間的關系。在計算游樂園的長度和寬度時，學生容易出錯，因此，教師在講解時應引導學生畫好關系圖，通過關系圖的直觀演示，學生才能順利列出游樂園長度為（40-2x）米，寬度為（30-2x）米。本題還有個容易出錯的地方是通道的取值范圍，在列完不等式之后，由于游樂園面積是正數，所以要先注明通道的范圍是0

由此可見，一元二次不等式的應用題可以提高學生的實際應用能力，通過提出問題、分析問題、解決問題，學生在這個過程中學會數學建模，學會用數學知識來解決生活中的問題，這對學生的能力來講是一種很好的鍛煉。而教師在設置題目當中切忌不可將題目設置得太難或者太脫離實際，學生學習能力的提高沒辦法一蹴而就，而應該先立足于學生的興趣和能力，以此為基礎，為學生量身定制出屬于他們的例題。

總的來講，應用題的教學一定要跟學生強調讀題的重要性，不可貪快，應該認真研讀題目當中的關鍵字句，這些都是解題的關鍵步驟，同時也是培養學生良好學習習慣的基礎。而一元二次不等式的應用題是學生在中職數學當中初步接觸到的綜合型題目，教師在教學中要充分發揮引導的作用，不僅要引導學生讀懂應用題，在解題過程中還要引導學生回想一元二次不等式的解題技巧，從而引起學生主動學習的興趣，形成良好的課堂學習氣氛，提高課堂的教學效果。

參考文獻：

[1]景春華.中職數學應用題解題訓練策略的幾點意見[J]. 課程教育研究，2016（23）.

[2]顧龍祥.如何提高中等職業學校學生數學運算素養：以一元二次不等式的解為例[J].職業，2018，477（15）：104-105.