淺談如何設計中考數學復習中的專項訓練

錢良均　葉春燕

【摘要】教師設計開展專項訓練，對提高學生分析、解決問題的能力具有特別的作用.設計專項訓練的主要原則是針對性，也就是教師應圍繞訓練的核心目的，設計具有較強針對性的教學內容，并引導學生積極參與到訓練過程中去，這樣才能保證“專項”訓練的“專門”效果.

【關鍵詞】專項訓練;有效性;變式訓練;問題串;課堂

所謂“專項訓練”，是指教師組織學生進行以提高解題能力的核心目標的一系列有針對性的訓練.包括考查基礎知識的診斷性訓練，提高解題速度的限時性訓練，把握易錯易混知識的辨析性訓練，綜合運用知識、思想方法的分析性訓練，解決典型性問題的指向性訓練以及迅速從信息型問題中提取數學關系的提煉性訓練.其原理和作用就猶如競技體育中教練為運動員設計制訂一系列的專項訓練一樣.

一、注重考查基礎知識的診斷性訓練

經過第一階段對整個初中階段所學知識的全面梳理，學生較為系統地復習了基礎知識，這比新授課時的掌握情況有了新的提高.如何診斷學生的復習效果，教師宜設計編制一些基礎知識的診斷性訓練（也可以回歸教材，選用一些教材中的典型例、習題），難度不宜過大，知識的綜合程度不宜過高，重點是讓學生根據問題條件熟練地重現所涉及的基礎知識，準確地解決問題.這類問題在中考試題中所占比重很大，教師和學生都要引起足夠重視.

例1 計算：48-2-1+|3-2|-3tan30°.（改編于紹興市2008年中考試題17（1），主要考查算術平方根、負整數指數、絕對值、特殊角的三角函數值等）

二、提高解題速度的限時性訓練

這一點要求對學生進行限時訓練，中考要求學生在規定時間內解答給定的問題，對學生解題速度提出了相應的要求.常有學生抱怨平時數學“學得還可以”，就是到了考試就手忙腳亂，甚至來不及做完整份試卷.避免這種現象的一個好方法是教師在復習階段設計開展一些以提高解題速度為目的的限時性訓練.教師可以設計編制一些難度并不太高的試題，要求學生在規定時間（如10分鐘或20分鐘）內解決，題量可視難度、計劃時間等因素而定（如設計5～8個選擇、填空題，或1～2個解答題讓學生在10分鐘內完成）.這類訓練的試題設計可與基礎性診斷訓練相仿，但訓練目的不同，從難度上講也基本相當，但限時性訓練難度可稍低一些，以提升速度為主要目的.

三、把握易錯易混知識的辨析性訓練

初中數學中有許多知識教師強調了多次，而學生仍然容易犯錯或混淆，也就是我們通常所說的“陷阱”.為避免學生在同一地方摔倒兩次以上，教師可以設計專項訓練題，在課堂上專門安排時間讓學生訓練，可以明確告訴學生本次訓練的都是“陷阱”題，就是要考查學生的觀察和辨析能力，以此來提高學生的警惕性.

例2 4的平方根是.（需要計算4=2，再求其平方根，易與4的平方根混淆）

例3 等腰三角形的兩邊長分別為3和4，則它的第三邊長為.（需考慮3和4都可作為腰長，易遺漏情況）

例4 將根式a-1a外的a移入根號內的結果為.（需考慮隱含條件a<0，易想當然地認為a>0）

四、綜合運用知識、思想方法的分析性訓練

統觀歷年中考試題，總有3～5道題目屬于綜合性問題.這類試題常將多個知識點和數學思想方法綜合在一起，有一定的難度，要求學生能綜合應用所學知識和思想方法求解，學生常感到無從著手，甚至“望題興嘆”.在復習階段，教師不妨選擇1～2道綜合問題，引導學生一起分析，體會“分析問題—聯系知識—轉化遷移—逐步求解”的解題過程，不斷提高綜合解題能力.其重點應放在如何分析、尋找正確的解題思路，當得出思路以后，后續工作可讓學生獨立思考解答.

例5 如圖所示，在平面直角坐標系中，O為原點，點A，C的坐標分別為（2，0），（1，33）.將△OAC繞AC的中點旋轉180°，點O落到點B的位置.拋物線y=ax2-23x經過點A，點D是該拋物線的頂點.

（1）求a的值，點B的坐標;（2）若點P是線段OA上的點，且∠APD=∠OAB，求點P的坐標;（3）若點P是x軸上的點，以P，A，D為頂點作平行四邊形，該平行四邊形的另一頂點在y軸上，寫出點P的坐標（直接寫出答案即可）.（2007年紹興中考試題24）

分析 （1）“將△OAC繞AC的中點旋轉180°，點O落到點B的位置”四邊形OABC為平行四邊形BC∥OA，BC=OAyB=yC=33，xB=xC+2=3;“拋物線y=ax2-23x 經過點A”將A點坐標代入可求得a=3.（2）“點D是該拋物線的頂點”D（1，-3）;D（1，-3）B（3，33）tan∠OAD=tan∠AOB=3∠OAD=∠AOB=60°;∠OAD=∠AOB∠APD=∠OAB△APD∽△OAB，進而可求得點P坐標.（3）“以P，A，D為頂點作平行四邊形，該平行四邊形的另一頂點在y軸上”點P（-1，0）或（1，0）或（3，0）.

五、解決典型幾何問題的指向性訓練——幾何變異理論

立足于舉一反三，一題多變.中考數學試題的類型極為豐富，題型繁多，但絕不是無章可循.有些問題作為初中數學的?？肌⒈乜碱}，多年來基本以某種相對固定的模式呈現.對此類問題，一方面，教師在平時教學中就應對學生提出模式化的解題意見，就如體操、跳水比賽中的規定動作，要做到準確到位;另一方面，應該在復習過程中做針對性的呈現，可以明確告訴學生是典型的問題，考查學生能否在最短時間內重現解題思路.

例6 如圖所示，分別以△ABC的邊AB，AC為一邊向外作正方形AEDB和正方形ACFG，連接CE，BG.求證：BG=CE.（浙教版八年級下冊P147作業題）

本題是初中數學中極為常見的典型問題，其關鍵是先得到∠EAC=∠BAG，然后利用“邊角邊”證明△EAC≌△BAG.初中數學中有許多以本題為原型的變式題，教師可以引導學生舉一反三地加以比較、類比分析，形成系統.

變式1 如圖所示，分別以△ABC的邊AB，AC為一邊向外作正三角形ADB和正三角形ACE，連接CD，BE.求證：CD=BE.

變式2 上述第1題中求證：BG⊥CE;第2題中求CD與BE所成的角.

變式3 已知，如圖所示，△ABC是銳角三角形.分別以AB，AC為邊向外側作等邊三角形ABM和等邊三角形ACN.D，E，F分別是MB，BC，CN的中點，連接DE，FE.求證：DE=FE.

六、解決典型函數綜合問題的指向性訓練——函數變異理論課堂實錄

中考對二次函數的考查仍然是一個主要的方向，二次函數在初中數學中與幾何的完美結合，可以充分體現函數思想、方程思想、數形結合思想，以及分類、變換思想，因此，也是中考中考查學生能力的最好載體.

“二次函數背景下的三角形面積問題探索”教學過程：

◆預習反饋：

1.（2007年溫州）已知拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點A，與x軸的正半軸交于B，C兩點，且BC=2，S△ABC=3，那么c=.

2.（2010年寧波）如圖所示，已知二次函數y=-12x2+bx+c的圖像經過A（2，0），B（0，-6）兩點.

（1）求這個二次函數的解析式為.

（2）設該二次函數圖像的對稱軸與x軸交于點C，連接BA，BC，求△ABC的面積為.

3.（改編自2010年山東）如圖所示，拋物線y=-x2+2x+3的頂點為C，交x軸于點A點和B點，交y軸于點D.求△ABD的面積為，△ABC的面積為，△ADC的面積為，△BDC的面積為.

答案 1.3

2.（1）y=-12x2+4x-6 （2）6

3.S△ABD=6，S△ABC=8，S△ADC=3，S△BDC=1.

設計說明：通過對中考真題的再現，一方面，激發學生的求知欲望，吸引學生的注意力;另一方面，為本節課的探索——三角形面積問題，奠定基礎.

◆課堂導學：

例7 如圖所示，拋物線y=-x2+2x+3的頂點為C，交x軸于點A點和B點，交y軸于D點.

（1）在拋物線上是否存在除點D以外的點P，使得△ABP與△ABD的面積相等？若存在，請求出此時點P的坐標;若不存在，請說明理由.

設計說明 通過學生的探究，得出已知三角形一條確定的邊與面積的條件下，第三點在拋物線上是否存在的問題.此題目的在于引導學生借助課前預習中出現的知識探究方法，將單純的三角形面積問題融入二次函數圖像中，學生操作幾何畫板，初步探索點的位置，從而歸納出尋找此類點是否存在的一般方法.

復習1 已知三角形一邊及其面積，第三頂點在平行于底邊且距離等于高的兩條平行線上.

答案 有三個點P1（2，3），P2（-7+1，-3），P3（7+1，-3）.

變式一

（3）在拋物線上是否存在點P，使得△ABP的面積是△ABD的面積的2倍？若存在，請求出此時點P的坐標，若不存在，請說明理由.

設計說明 三角形底邊不變，讓學生探索出三角形面積之比等于高之比，從而能夠確定存在的三角形的高，并確定其對應的點的位置.

答案 有兩個點P1（-10+1，-6），P2（10+1，-6）.

◆當堂導練：

變式二

在例7的拋物線上是否存在點P，使得△ABP的面積是△ABD的面積的13？若存在，請指出有個滿足條件的P點;若不存在，請說明理由.

設計說明 改變三角形的面積倍數關系，不改變底邊，讓學生再次用學到的知識進行自我探究.此題不計算，學生口答點的個數.

答案 有四個點P1（-3+1，1），P2（3+1，1），P3（-5+1，-1），P2（5+1，-1）.

就滿足條件而言，對前面問題點的個數進行歸納：用幾何畫板演示四個交點、三個交點、兩個交點.

到此之前，我們所討論的三角形底邊都在x軸上，只需過滿足條件的位置作x軸的平行線，就可以很容易找到符合條件的點的坐標.

變式三

（4）在拋物線上是否存在除點B以外的點P，使得△ADP與△ADB的面積相等？若存在，請求出此時點P的坐標;若不存在，請說明理由.

設計說明 改變三角形的底邊，讓學生順勢探索如何確定滿足條件的點的位置，并與前面的問題進行類比，歸納解題的通法.

復習2 在直角坐標系中，兩直線平行，斜率相等.

答案 一個點P（4，-5）

變式四

（5）（2010年威海）在例題的拋物線上是否存在除點C以外的點P，使得△ADP與△ADC的面積相等？若存在，請求出此時點P的坐標;若不存在，請說明理由.

設計說明 將問題進一步升華，引導學生站在一個更高的位置認識二次函數與三角形面積問題，更有利于形成學生的思維品質，為后繼學習打下基礎.

答案 P1（2，3），P23-172，-1+172，P33+172，-1+172.

◆課后思：本節課你有哪些收獲？

設計說明：1.鼓勵學生結合本節課所學內容，談自己的體會，學生可暢所欲言，組內外成員可做適當補充，進一步鞏固本節課的知識.

2.提煉本節課的數學基本思想：函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、類比思想和歸納推理思想.

◆課后練習（課外探索）：

1.（改編自2010年綿陽）點K在第一象限的拋物線上運動，試問當K運動到什么位置時，△ADK的面積最大？求出最大面積.

2.請你在課后收集近三年同類型的中考題，選擇其中兩道做在作業本上.

教學設計說明：

（一）設計理念

最近幾年中考題中，有不少三角形面積問題與二次函數相結合的題目，引起了廣大初中數學教師的重視.因為二次函數與三角形面積都是教材的重點，因此，我對這兩種重要內容的結合就格外重視.本節課就是通過不斷地變式訓練，要求學生會觀察問題，找到解決問題的本質，提升學生識圖的能力，進一步培養學生的數形結合能力和解題能力，力爭實現學生的學習數學的可持續“發展”.

（二）解決問題的策略

在教學中，積極引導學生主動參與觀察、交流、歸納等探索活動，給學生充分的思考交流時間，同時不忘對基礎知識的復習，讓學生建立知識體系，遷移問題，找到解決問題的一般方法.

總而言之，在進行這些專題復習時應據歷年中考試卷命題的特點精心選擇一些新穎的、有代表性的題型進行專題訓練，就中考的特點可以從以下幾個方面收集一些資料進行專項訓練：圍繞實際應用型問題，突出科技發展，信息資源的轉化的圖表信息題，體現自學能力考查的閱讀理解題，考查學生應變能力的圖形變化題、開放性試題，考查學生思維能力、創新意識的歸納猜想，操作探究性試題，幾何代數綜合型試題等.在進行這些專題復習時，教師要引導學生從各個側面去展開，并將近幾年中考題按以上專題進行歸類、分析和研究，真正把握其命題方向和規律，然后制訂應試對策.初步形成應試技巧，為下一步的“強化訓練”復習打下堅實基礎.