案例分析輔助圓在初中數學解題中的應用

魏瑞賓

（福建省漳州市長泰縣第二中學，福建漳州 363900）

引 言

初中幾何學有時需要使用非常麻煩的解決方案，如使用連續相似性來獲得長度或角度關系；添加必要的輔助線解決平面幾何問題等。在通常的問題解決中，畫輔助線是最熟悉和最常用的手段。在某些情況下，教師可以構建全等圖形，通過平移、旋轉、折疊等方式獲得，這被稱為構建輔助圖形。實際上，教師還可以構建輔助圓。許多問題的結論或證明過程可以通過與圓相關的一些知識或屬性直接獲得。但是，此時的圓并不存在（標題中可能存在已知條件）。此時，教師必須從已知條件開始，利用圖形作出輔助圓。這要求學生要學會全面思考，結合已知條件并理解圓的知識。例如，在兩點之間，可以繪制無數個圓；通過不在同一條直線上的三個點，可以作一個圓。圓有兩個定義：圓點與同一個圓上的點具有相同的距離，以及“三點共圓”。實際教學中經常將這兩個定義結合來解決大多數問題。

一、距離一個點相同距離的所有點形成一個圓

當研究該主題的已知條件時，學生會發現所有固定點的線段是相等的。連接這些點，可以構造一個輔助圓。有些問題看起來似乎和圓毫無關系，但條件或結論提供了一些類似于圓的性質的信息。此時，可以構建相關的輔助圓，從而把原始問題轉換為與圓相關的問題[1]。

例1： 如圖1 所示， 在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=DB=p，BC=q。求對角線AC的長度。

分析：從“AD=DC=DB=p”可以看到，點A，B和C均在半徑為p的⊙D上。AC與p和q的關系可以通過圓的性質找到。

解：如圖1 所示，將CD延長到E點，然后連接AE?？梢悦黠@地看出點A，B和C都在⊙D上。

∵AB∥CD，

在ΔACE中，∠CAE= 90°，CE= 2p，AE=q，

二、在該條件下存在45°的銳角時，可以考慮構建輔助圓

例2：如圖2 所示，在ΔABC中，AD⊥BC于點D，∠BAC= 45°，BD= 3，CD= 2。求ΔABC的面積。

分析：這個問題可以通過找到△ABC的高AD來解決。利用“∠BAC=45°”這個條件，可以構造一個以∠BAC為圓周角的輔助圓，根據圓的相關知識可以求得高AD的長度[2]。

解：如圖2 所示，作△ABC的外接圓，OE垂直BC于E點，從∠BAC= 45°可以知道∠BOC=90°，那么△OBE，△OBC是等腰直角三角形, 又因為OE=EC=BE=所以ED=CE-CD= 0.5，易證OF⊥AD，則四邊形OEDF為矩形，因此OF=DE= 0.5，DF=OE= 2.5 。在RtΔAOF中，由畢達哥拉斯定理得AF= 3.5，因此AD=AF+FD= 6，即×6 = 15。

另一種解決方案（建設相似性）：如圖3 所示，構造等腰直角△BDE和等腰直角△CDF所以，點E和點F在AD上。易得DE=DB= 3，DF=CD= 2，所以FE=DE-DF= 1。設AE=x。 由∠BAD+∠ABE=∠BED= 45 °， ∠BAD+ ∠DAC= ∠BAC= 45 °， 得 ∠ABE=∠DAC，又因為∠BEA=∠AFC= 180°-45°=135°，所以△BEA～△AFC。然后利用相似三角形對應線段成比例，得到x= 3（負根已經舍去）。因此，AD=AE+DE= 6。

圖3

三、當條件中的角是另一角的兩倍時，可以考慮構建 一個輔助圓

例3：如圖4 所示，在ΔABP中，PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC和PB相交于點D，若PB= 4，PD= 3，則AD·DC等于（ ）。

A. 6 B. 7 C. 12 D. 16

分析：根據已知條件可以構造以P為圓心，PA為半徑的輔助圓。根據“∠APB=2 ∠ACB”這個條件可以得出點C在⊙P上。AD·DC的值可以通過圓的相關知識來獲得[3]。

解：如圖4 所示，從交點和弦定理將BP延長到E點，得到AD·DC=DE·DB=（PE+PD）·（PB-PD）=（4 + 3）×（4-3）= 7。因此答案是B。

圖4

四、探索移動點作為固定線段角度的輔助圓

例4：如圖5 所示，在Rt △ABC中，AC= 5，BC= 12，∠ACB= 90°，P是AB上的動點，Q是BC上的動點，已知∠CPQ= 90°，求CQ的取值范圍[4]。

圖5

分析：以CQ作為⊙O的直徑，依據直徑所對的圓周角等于90 度。若AB上的動點P在圓上，則∠CPQ=90°。當⊙O與AB相切時，直徑CQ為最小值。

由切線長度定理得AP=AC= 5，所以BP= 13-5 = 8。根據切割線定理得BP2=BQ·BC，所以BQ= 16/3，CQ= 20/3當點Q與點B重合時，直徑CQ為最大值，即 12。

綜上：20 /3 ≤CQ≤12。

結 語

綜上所述，案例分析輔助圓在初中數學解題過程中有非常重要的作用，學生如果能夠運用自如，那么將在考試或更高層次的學習中達到事半功倍的效果。再者，這個方法對培養學生的數學思維是非常有效果的，能夠幫助學生增強對數學知識的理解。因此，廣大教學工作者應該積極地將這種方法運用到自己的教學實踐工作中，以提高廣大學生的數學能力。