例談數形結合在小學數學中的運用

馮秀芝

摘 要：數學教學中有多種多樣的數學思想，其中數形結合思想是數學中最重要、最基本的思想方法之一。數形結合是連接“數”與“形”的“橋”，它是一種解題方法，也是一種重要的數學思想。以形助數、以數輔形、數形互譯，可以使許多數學問題簡易化。由形到數、由數到形、數形互助、相輔相成，有助于把握概念的本質，有助于化解學習難點，有助于理解數量關系，有助于探索數學規律。

關鍵詞：數形結合;小學數學;教學策略

《數學課程標準》指出：數學是研究數量關系和空間形式的學科。數學家華羅庚曾說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休。”數形結合思想是數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化，將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來解決問題的思想。可見，數與形是不分家的。如果能將數形結合思想作為學生的數學素養之一，在教學中運用恰當，堅持長期滲透，那定能讓學生受益終身。

數學是一門嚴謹、抽象的學科，而兒童是以直觀、形象思維為主的，兩者之間就形成了矛盾。恰好數形結合就能很好地緩解這一矛盾。在小學階段，數形結合通常是指通過數形之間的互相轉化，把抽象的數量關系通過抽象，轉化為幾何圖形，借助直觀表象發現數量之間的內在聯系，解決數學問題。

一、數形結合，還原數學本質

數的產生是源于對具體物體的計數。從數的概念的建立到數的運算，處處蘊涵著數形結合的思想。在學習整數、分數、小數及其加、減、乘、除法的運算時，教材都是借助直觀的幾何圖形來幫助學生理解抽象的概念。生動形象的圖形使得抽象的知識變得趣味化、直觀化，讓學生在學習時不再感到枯燥乏味，反而能夠使學生從中獲得有趣的情感體驗，讓學生主動去探索，把握數學本質。（附教學片斷：二年級（上）：解決問題）

師出示例7中的第一個問題：

（1）有4排桌子，每排5張，一共有多少張？

師：仔細讀題，說說你都知道了什么？

生1：有4排桌子，每排都有5張。

生2：一排有5張桌子，像這樣一共有4排。

師出示例7中的第二個問題：

（2）有2排桌子，一排5張，另一排4張，一共有多少張？

師：讀了第（2）題，你知道了什么？

生1：第一排有5張桌子，第二排有4張桌子，一共有多少張桌子。

生2：有兩排，一排5張，一排4張。

師：比一比，這兩道題有什么相同的地方？

生1：都是求桌子一共有多少張。

生2：都有4張桌子和5張桌子。

師：那解決這兩個問題該怎樣列式呢？

學生自主嘗試列式后匯報：（1）5×4=20（張） （2）5+4=9（張）

師：為什么這樣列式？跟大家分享一下你的想法。

生：第一題說每排5張，有4排，就是把4個5都加起來，可以用乘法5×4=20;第二題是一排5張，另一排4張，一共就只有9張了，所以是5+4=9。

師：你們聽懂了嗎？誰還能像他這樣來說一說。

生反復表達。（至此，用文字表述，有些學生想得清楚，表達得也完整;有些學生知道，但是說不清楚;還有些學生不太明白，更不會表達。）

師：我們有些小朋友好像還不太明白，誰能幫幫他們。誰有好辦法，讓他們一下子就明白了？

生1：讓他排一下桌子就知道了。

生2：太麻煩了，擺一下小方塊就好了。

生3：也可以在紙上畫畫看。

師：畫畫這辦法不錯，簡單易操作，我們可以用簡單的圖形表示桌子，動筆畫一下吧。

幾分鐘后展示學生作品。

至此，每個上來展示的學生都能比較完整地表述自己是怎么畫的，為什么可以這樣列式計算。原來茫然的學生默默點頭表示明白了，也能說出自己對題目的理解，以及為什么要這樣列式計算。

在這個案例中，學生的難點在于如何提煉題目給出的數學信息，以及為什么4個5或5個4要用乘法計算，4和5的和要用加法計算。學生通過從數到形，提煉有用的數學信息，理清題意，再從行到數，驗證猜想，提煉概括出思想和方法。通過數形結合的方式，還原了問題的本質。

二、數形互助，化難為易

數形結合這個過程實際上就是把題目中的數量關系轉化成圖形，再根據對圖形的觀察、分析，逐步轉化成算式，實現問題的解決。

例1：一桶果汁，第一次倒出■千克，第二次倒出■千克，兩次正好倒出這桶果汁的■，這桶果汁共有多少千克？

在解決這一問題時，全班一半以上的學生都錯了。分析原因有二：一是學生不太理解分數表示數量，二是題意梳理不清，學生找不到相對應的數量和分率。

圖1是一位同學的作業，筆者請這位學生上臺交流了自己的理解和想法后，其他學生豁然開朗。有的還小聲說：“早知道，我也畫一下線段圖嘞。”訂正的時候要求在旁邊都畫了線段圖，這樣一來，學生就能找到一一對應的數量關系了。把抽象的文字轉化成直觀的圖像，更易于學生理解題目，便于分析其中的數量關系。有時候借助形來解釋，會有事半功倍的效果。

例2：小林、小強、小芳、小兵和小剛5人進行象棋比賽，每2人之間都要下一盤。小林已經下了4盤，小強下了3盤，小芳下了2盤，小兵下了1盤。請問：小剛一共下了幾盤？分別和誰下的？

這個問題光看文字是很難分析出來的，因此教材也通過圖片（如圖2）的形式呈現出來，旨在提醒學生可以畫圖連線，講究策略方法，使得題意更加清楚、明確，從而高效地解決問題。

例3：計算■+■+■+■+■+■

一看到這個算式，學生的第一反應就是先通分再計算。在通分的過程中有學生發現了這些數的規律，但是難以總結出來。通過畫圖，就能明確地表達意思了。

借助圖3學生一眼就能看出■+■+■+■+■+■=1-■=■。通過這樣的直觀分析，便于學生總結方法。從直觀到抽象需要一個臺階，一個過程。

在教學實踐中，這樣數形結合化難為易的例子不勝枚舉。然而，需要強調的是在利用數形結合解決難題的過程中需注意：作圖要準確無誤，避免潦草作圖而導致解題偏差;注意轉化的過程要一一對應，即必須是等量的;注意觀察、思考合理性，不能任意增減已知條件等。總之要客觀地反映問題本身。

三、數形互譯，發展思維

數學學習的過程不僅僅是接受知識、積累知識的過程，還是一個探索知識、創造知識的過程。數形結合的思維方法是兒童構建數學模型的基本方法，在數學教學中，讓學生學會構建模型來直觀描述數學問題，這樣不僅可以發展學生的形象思維能力，還能通過數形結合達到鍛煉思維，激發創造性的效果。

例4：用一個杯子向一個空瓶里倒水。如果倒進3杯水，連瓶共重440克。如果倒進5杯水，連瓶共重600克。想一想：一杯水和一個空瓶各重多少？

該題最早出現是在三年級，面對該問題，多數學生表示無從下手。他們來來回回讀了兩三遍題目，始終不知道找出其中的差量。圖4就能看出差量了。

用大長方形表示空瓶子，用小長方形表示倒進了幾杯水，左右一對比，相差了兩杯水，相差了160g。學生可以借助數形結合將文字信息與實際問題整合，把數用形表示出來，由形抽象出數和數量關系。既培養了學生的能力，又促進了學生思維的發展。

總之，抽象的思維要有形象思維的支持，“數”的思考、“形”的創設要有機聯系起來。在小學數學教學中，數形結合能給學生提供豐富的形象素材，結合學生的認知特點、認知規律，對其進行概括、抽象、提煉、再創造。使得數學學習不再枯燥、乏味。由形到數、由數到形、數形互助、相輔相成，有助于把握概念的本質，有助于化解學習難點，有助于理解數量關系，有助于探索數學規律。要不失時機地為學生提供機會，讓學生在數與形的世界里盡情暢玩，不斷提高數學能力。