教學實錄與點評：點到直線的距離 *

江蘇省睢寧縣第一中學 (221200) 潘云超 武瑞雪

1.教材分析

點到直線的距離公式是解析幾何中的一個基本公式，具有廣泛的應用，此公式可以看作兩點間距離公式的應用，由它還可以得到兩條平行直線之間的距離，在解析幾何的知識體系中處于承上啟下的地位.

教學目標：(1)通過點到直線的距離公式的推導，滲透類比、化歸的思想，并使學生進一步了解用代數方法研究幾何問題的方法，培養學生勇于探索，勇于創新的精神.(2)掌握點到直線的距離公式，能運用它解決一些簡單問題.(3)滲透數形結合的思想，對學生進行對立統一觀點的教育.

教學重點：會求點到直線的距離和兩條平行直線間的距離.

教學難點：點到直線的距離公式的推導.

2.教學實錄與點評

在我市舉行的一次青年教師的優質課評比活動中，其中一位教師A對《點到直線的距離》這節課的教學設計和實施給筆者留下了深刻的印象，現實錄與點評如下，以期與同行探討.所用教材為現行蘇教版，課前布置學生在“導學案”引導下閱讀教材，本節課是“點到直線的距離”第一課時.

2.1 問題情境

問題1 (1)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB=；

(2)當A(x1，0)，B(x2，0)時，則AB=；

(3)當A(0，y1)，B(0，y2)時，則AB=.

點評：先復習兩點間距離公式，以此作為新知識的生長點，自然引出需要解決的新課題“點到直線的距離”.

問題2 什么叫點到直線的距離？如何求圖1中原點O到直線AB：3x-4y-12=0的距離？

圖1

根據課前批改導學案所了解到的情況，教師分別讓生1、生2說出其求解思路.

生1：(教師按生1思路板書)求OH長度求直線AB與直線OH的交點H的坐標求直線OH的方程求kOH求kAB.

師：生1的解法，思路自然、清晰，大部分學生都容易想到，但此法計算量較大；生2的解法，思路簡捷，步驟少.

點評：高效率的課堂教學，源于高質量的課前備課和充分的課前預設.在課前，教師就預估到學生可能有的一些解法，故制作課件時，就將生1、生2的解法編制在課件上了，生1、生2口答完后，教師直接播放課件，節省了板書時間，提高了教學效率.

圖2

問題3 如圖2，求點D(2，4)到直線AB：5x+4y-7=0的距離.

教師課前批改導學案，了解到大部分學生都采用生3的思路.

生3：求DE長度求直線AB與直線DE的交點E的坐標求直線DE的方程求kDE求kAB.

師：先用多媒體展臺展出生3的解答過程，然后詢問學生，有沒有類似生2的求解思路呢？

師：結合圖形，用等面積法，將“求點到直線的距離問題”轉化為“求直角三角形斜邊上的高”的問題，縮小了運算量，并用多媒體展臺展示生4的完整解答過程，并給予點撥.

點評：教學實踐證明，對于學生不易想到的思路或解法，讓學生盲目地去嘗試，只會耽誤學生的時間，影響教學效率.因為有問題2的鋪墊和啟發，學生很自然地想到“等面積法”，通過對比，生4的解法比生3的解法更簡捷.

問題4 若P(x0，y0)，l：Ax+By+C=0(AB≠0)，如何用點P的坐標和直線l方程中的參數A，B，C來表示點P到直線l的距離？

生5：(因為問題2、問題3的解決為問題4的解決指明了方向，生5順利說出用“等面積法”推導公式的過程).

師：用PPT顯示用“等面積法”推導公式的完整過程.

點評：教材上在運用“等面積法”推導點到直線的距離公式時，直接過點P作x、y軸的平行線(或垂線)構造直角三角形，沒有展現思維過程，顯得唐突，學生很難理解、領悟.上述問題串的設計，引導學生順利地突破了這個難點：問題1到問題2，由熟悉到不熟悉；問題2到問題3，由易到難，但解決的方法可以類比、遷移；問題3到問題4，由特殊到一般，解決的方法仍然可以類比、遷移，有效地防止了學生思維不暢的情況發生.

問題5 當直線l的方程Ax+By+C=0中的A=0或B=0時，公式是否成立？

對于此問，教師沒有越俎代庖，而是放手讓學生獨立探究、討論，最后教師引導學生結合圖形，驗證了結論的正確性.

點評：由問題4到問題5，由一般到特殊，教師沒有直接告知學生此時公式是否仍然成立，而是給足學生時間，讓學生自己驗證，最后教師畫圖形解釋、補充.

2.2 數學理論

強調：公式的結構特征：分子是將已知點坐標代入直線方程等號左邊的式子后再取絕對值的結果，分母則是直線方程中x，y系數的平方和的算術平方根.

2.3 數學運用(例題或練習)

例1 求點P(-1，2)到下列直線的距離：

(1)2x+y=10；(2)3x=2.

生5：板演(略).

變式1 (課本第105頁習題2.1(3)中第6題改編)

(1)點P是直線2x+y-4=0上任意一點，O是坐標原點，求OP的最小值．

(2)點P是直線2x+y-4=0(x≥0，y≥0)上任意一點，O是坐標原點，求OP的范圍．

點評：通過例1及變式1，鞏固點到直線的距離公式.通過例1，讓學生明確公式什么時候可以直接使用，什么時候需要轉化才能使用，什么時候能用也不用，突出本節課的重點；通過“一題多變”和“一題多解”培養學生思維的深刻性和發散性，并滲透函數思想和數形結合思想.

例2 求兩條平行直線3x-4y+8=0，3x-4y-2=0之間的距離.

點評：兩條平行直線之間的距離，可轉化為一條直線上的一點到另一條直線的距離，滲透化歸思想.

變式2 若直線l1：Ax+By+C1=0 ，l2：Ax+By+C2=0，C1≠C2，求這兩條直線之間的距離.

點評：由例2到變式2，由特殊到一般，解決方法可類比遷移.

變式3 求下列兩條平行直線之間的距離：

(1)2x-y=0，2x-y+5=0；

(2)x+2y-3=0，2x+4y-5=0．

點評：鞏固兩條平行直線之間的距離公式.

2.4 當堂檢測

2.已知直線l經過直線l1:2x+y-5=0與l2:x-2y=0的交點．

(1)若點A(5，0)到l的距離為3，求l的方程；(2)求點A(5，0)到l的距離的最大值．

點評：第1題與第2(1)題均為易錯題，分別易忽視“在兩坐標軸上截距均為0”和“直線l的斜率不存在”的特殊情況，選用這兩題，故意設置陷阱，利于培養學生思維的嚴謹性和批判性.第2(2)題，通過畫圖，可發現點A(5，0)到l的距離的最大值就是l1與l2的交點P與點A之間的距離，滲透數形結合和等價轉化思想.

2.5 課堂小結

(放手讓學生總結，然后教師補充，略)

2.6 布置作業

必做題：課本105-106頁習題2.1(3)：7，9，11，12.

選做題：1.(課本第105例3改編)請按以下指定的三種方法證明：等腰三角形ABC底邊BC上任意一點P到兩腰的距離之和等于一腰上的高.

方法一(幾何法)：利用初中所學習的平面幾何知識證明；

方法二(坐標法)：以等腰三角形底邊所在直線為x軸，底邊上的高所在直線為y軸，建立直角坐標系，然后利用點到直線距離公式證明；

方法三(坐標法)：以等腰三角形底邊所在直線為x軸，以底邊的一個端點為坐標原點，建立直角坐標系，然后利用點到直線距離公式證明.

2.課本106頁習題2.1(3)：T13—T21

點評：(1)做作業，可幫助學生鞏固所學.作業布置分必做、選做兩部分，由易到難循序漸進，讓不同層次的學生在數學上獲得不同的發展.

(2)“坐標法”不是本節課的重點，故本節課沒有處理課本上第104頁的例3，而是將其改編為作業中選做題的第1題，為下一課時(習題課)做充分準備.此題要求一題多法，目的是培養學生思維的發散性，且通過方法二與方法三的比較，讓學生切實體會建立坐標系是將“幾何問題”轉化為“代數問題”的基礎，而合理建系可以減少運算量.

3.總點評

3.1 優點

(1)教學流程清晰有條理

學生在教師的引導下，由淺入深，由特殊到一般，由具體到抽象，利用類比、歸納的方法，親歷“點到直線的距離公式”發生、發展、建構、運用的全過程，充分體現“以學生的發展為中心”的教育理念.

(2)重視信息技術的使用

借助PPT和展臺的直觀演示輔助教學，節省教師板書時間和學生抄題時間，提高了課堂容量和教學效率.

(3)靈活地選用教材上的例題、習題

能根據學情，靈活選用或改編教材上的例題、習題，做到“尊重教材，而不囿于教材”.

(4)順利突破教學難點

點到直線的距離公式的推導是本節課的難點.該教師根據學情，化整為零，化難為易，設計問題串，而且每個問題都處在學生思維的最近發展區內，利于學生理解、領悟，順利突破難點.

3.2 不足

(1)教師對“當堂檢測”情況點評后，沒有留給學生足夠的時間整理、記錄易錯題，這會導致學生再遇類似題目時，出現“課堂上聽得懂，課后又不會做或老錯誤重犯”的現象.

(2)對于回答錯誤的學生，教師沒有給予必要的鼓舞，讓這些學生多了挫敗感.教學實踐表明，當學生答錯時，教師若說“你再細心一點，也許就能做對了”“沒關系，坐下再想想”等，能讓學生少些挫敗感，多些成就感，增強自信心.