探究性學習的問題設計與探究過程
——以一次試卷講評中的圓錐曲線探究性問題為例

湖北省恩施州教育科學研究院 (445000)

周 威

《普通高中數學課程標準(2017)》說到，數學探究活動是圍繞某個具體的數學問題，開展自主探究、合作探究并最終解決問題的過程,重點提升學生數學抽象、數學運算、數據分析、邏輯推理和直觀想象等核心素養，那么從歷年高考對圓錐曲線中橢圓問題的考查來看，基本上就是一個自主探究過程，在解決問題過程中考查學生的數學核心素養，它融入了解析幾何方面所有的數學基本思想、方法、技能，而且考查面基本穩定.因此本文中筆者以一道圓錐曲線高考模擬題為例，通過采用“問題—探究—結論”的探究過程，引導學生進行一系列的探究活動，最終得到此類圓錐曲線的一般性質.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)過P(1,0)作動直線l交橢圓C于A、B兩點，Q為平面上一動點，直線QA,QB,QP的斜率分別為k1,k2,k0，且滿足k1+k2=2k0，問Q是否在某定直線上運動，若存在求出該直線方程；若不存在，請說明理由.

本題第(1)問這是常規的封閉題型，歷年高考考查穩定，主要考查基礎知識、基本方法，體現對數學運算、邏輯推理等核心素養的考查.第(2)問屬于開放題型，難度適中，它蘊含的內涵也是十分有趣的.需要選擇合適的運算方法，強化探究運算思路.

1.縱向探究：由特殊到一般

問題1 從此題的解答過程和結果中的直線方程為x=4的來看與橢圓的要素a2,b2有關嗎？

生1：在此題中a2=4,b2=2，應該與a2有關.

問題2 那么直線方程是不是就是x=a2呢，如果不是那么還與什么有關呢？

生2：從第(2)問中運算過程直線l方程：y=k(x-2))代入橢圓的計算過程來看，應該不是，應該與P(1,0)點有關.

生3：確切的說應該是與P(1,0)點中的橫坐標有關！

生4：應該是a2乘以或者除以P點的橫坐標。

師：很好！那么具體是怎么一種關系呢？

(2)當直線斜率不存在時，直線l垂直x軸，由對稱關系知也符合題意.所以有如下性質：

師：通過剛剛的探究過程，對m的范圍有什么限制嗎？

生5：當m=0時，顯然并不存在這樣的定直線.另外，m的取值范圍只要保證Δ=(2k2a2m)2-4a2(k2m2-b2)(a2k2+b2)=4a2b2[(a2-m2)k2+b2]>0即可，也就是說只要保證直線l與橢圓有兩個交點，上面性質1是成立的.

師：是的！如果m取一些特殊值m=c,會是什么結論？

生6：若m=c時，P(c，0)就為橢圓右焦點，那么可以推出:

2.橫向探究：遷移到其他圓錐曲線

探究過程2:(1)當直線斜率存在時，設直線l為：y=k(x-m)與雙曲線交于A(x1,y1)、B(x2,y2).Q為(xQ,yQ),將直線代入雙曲線方程得(b2-a2k2)x2+2k2a2mx-a2(k2m2+b2)=0，x1+x2=

(2)當直線斜率不存在時，直線l垂直x軸，由對稱關系知也符合題意.因此可以有如下性質：

師：很不錯！剛剛探究速度快了不少，你們發現了什么規律嗎？

生7：(得意洋洋)這和前面探究過程1的思路和步驟是一樣的，我只是在上面改動了數據和符號！

問題5 若將一般雙曲線改為一般拋物線的條件下，P點是x軸上除原點的任意動點，是否存在定直線方程？

(2)當直線斜率不存在時，直線l垂直x軸，由對稱關系知也符合題意.所以有:

性質3 已知拋物線y2=2px(p>0)，過動點P(m,0)(m≠0)作動直線l交拋物線C于A、B兩點，Q為平面上一動點，直線QA,QB,QP的斜率分別為k1,k2,k0，且滿足k1+k2=2k0，那么Q點橫坐標為xQ=-m.

從探究結果來看，問題3、4、5都得到了很好的回答.值得一提的是，上述性質1、2、3，對焦點在y軸上的橢圓、雙曲線、拋物線依然可以類比得到，這時我們可以采取先結論后證明的方法，這里不再贅述.

3.逆向探究：由結果推條件

(2)當直線斜率不存在時，直線l垂直x軸，由對稱關系知也符合題意.所以有:

師：通過探究過程4，是否可以猜測對于雙曲線，拋物線也有類似結論？

生8：是的，這是一個充要條件！

師：很好！請同學們自己完成相應性質5、性質6的表述，并證明.

至此，通過這些問題設計與探究過程，我們完成了篇首題目的探究與推廣.通過對圓錐曲線一般性質的探究性學習，不僅僅是熟練技巧和方法，從證明過程中可以發現，對于研究圓錐曲線往往有“套路”，這種“套路”不是通過題海戰術或者說多做幾道題就能發現的，需要方法類比，需要知識遷移，學生才能從具體的數學情境中抽象出數學概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動經驗，才真正領悟這種“套路”當中的內涵，也只有這樣才能把握事物的本質，才能有知識的生成，就如本文中得到的準線關于橢圓、拋物線、雙曲線的性質，它對圓錐線具有相同的呈現方式，這也更讓學生體會到圓錐曲線的神奇.這對激發學生學習數學的興趣是大有裨益的，這樣的探究活動在教學中也應必不可少.