結式在分片代數曲線的研究

龔佃選 張靜

【摘要】分片代數曲線為二元樣條函數的零點集合，下面主要利用MATLAB程序，探討結式定理在分片代數曲線中的研究，并通過具體實例證明結式定理在求分片代數曲線的Bezout數的過程中存在著缺陷.

在計算幾何以及數學分析中，利用多元樣條函數對給定散亂數據進行插值是一個重要的課題[1]，在多元樣條函數的插值的過程中，如何選取適當的插值結點組是一個關鍵的問題，因為并不是對任意給定的插值結點組，多元樣條插值的存在都是唯一的，王仁宏、Oleg Davydov等學者在構造多元樣條函數插值結點組以及插值結點組的適定性等方面做了大量的研究[2]，由于樣條函數的插值結點組的適定性十分困難，王仁宏教授首先提出了分片代數曲線（piecewise algebraic curves）的概念.

分片代數曲線的Bezout定理是傳統代數幾何的開卷定理，例如，Cayley-Bacharach定理、Riemann-Roch定理等經典代數幾何中的重要結論在分片代數曲線理論中的推廣必須以分片代數曲線Bezout定理為基礎[3]，CAGD中大量的曲線類型是樣條曲線，確定兩條樣條曲線的交點個數是CAGD中的重要問題之一，其實質就是求分片代數曲線的Bezout數[4]，因此，研究兩條分片代數曲線的Bezout數具有重要的理論和應用意義，本文主要利用MATLAB程序，探討結式定理在分片代數曲線Bezout數中的研究.

前后不同的兩條分片代數曲線，通過結式定理，其最后分片代數曲線的Bezout數的結果一樣，很明顯由于前后樣條的自由度不同，最后的結果肯定不一樣，因此，結式定理在求Bezout數的上界過程中存在著弊端.

結論 Bezout定理是傳統代數幾何的開卷定理，在傳統代數曲線理論中具有重要的地位，考慮Bezout定理在分片代數曲線中的推廣對分片代數曲線的研究起著十分重要的作用.本文通過具體的例子，利用MATLAB程序，得出結式定理在求Bezout數的上界過程中存在著弊端.

【參考文獻】

[1]張曉磊.多元樣條與分片代數簇計算的若干研究[D].大連：大連理工大學，2008.

[2]那日順.有關分片代數曲線Bezout數的研究[D].大連：大連理工大學，2005.

[3]Renhong Wang，Zhiqiang Xu.Estimation of the bezout number for piecewise algebraic curve[J].Science in China Series A：Mathematics，2003（5）：121-146.

[4]王海敏，王亦然.低次分片代數曲線的Bezout數[J].科技通報，2011（6）：819-822+829.