“直線的參數方程”(第一課時)教學設計

王進

一、教材分析

本課是普通高中課程標準教科書數學（選修4-4）人教A版第二講第三節第一課時.參數方程相對普通方程，是曲線的另一種表達形式，它彌補了普通方程表示曲線方程的不足，是“數”與“形”的又一次完美結合.本節是在認識了曲線的參數方程的基礎上，進一步探究直線的參數方程.

本節課所學內容是前面學習內容的延續，符合數學邏輯，所涉及的研究方法可類比之前研究圓和圓錐曲線的參數方程的方法，具有延續性.從本節課的內容特點分析，學習過程中歷經發現問題、提出問題，在討論和比較中充分體會直線的參數方程在解決直線上兩點間距離時的優越性，體會直線的參數方程的應用價值.通過上述過程，學生完善了知識結構，體會到直線的參數方程式參數方程內容的延續、方法的再現，并從中培養學生的探究習慣和使用類比的方法來研究問題，提高應用意識.

二、學情分析

在必修2已學習了直線的5種方程和圓的兩種方程，在選修2-1也已學習了圓、橢圓、雙曲線、拋物線的方程，這些都是在直角坐標系中建立的普通方程;在本冊第二講的前兩節剛剛學習圓錐曲線的參數方程，會普通方程和參數方程的互化，體驗了參數方程在解決問題（如最值問題、定值問題）中的一些應用，對參數方程在求軌跡與解題方面的優越性有了一定的體驗.

從方法上看，關于參數方程中參數的選擇，圓的參數方程中參數是從物理意義引入，再闡明其幾何意義，拋物線的參數選擇有兩個方向，首先在參數方程的引例中物理意義引入，在后面拋物線的參數方程中，又得到了兩種幾何意義上的參數.直線的參數方程中參數的選定對學生相當困難，雖然可以根據確定直線的幾何條件聯想到向量，但是，如何建立聯系是難點，特別是學生對單位向量不了解.授課對象為山東省聊城第三中學高二下學期學生，學生對平面向量（高一必修四學習過）的知識有所遺忘，但學生的學習習慣較好，課堂所設計的問題基本解決.

三、教學目標設計

根據內容解析與學情分析，參照《普通高中數學課程標準（實驗）》的要求，作為第一課時，確定這節課的教學目標如下.

（1）通過確定直線的幾何條件，引導學生利用向量工具建立直線的參數方程，培養數學建模的素養;會求解直線上兩點間的距離，直線上某些特殊點對應的參數，體會參數方程相對普通方程的優越性，提升數學運算素養;在參數方程推理過程中，提升數學抽象、數學建模的核心素養;

（2）體會從特殊到一般，數形結合等數學思想在參數方程中的應用;

（3）體會參數在應用的過程中要經歷引參、用參、消參，體會參數的“無私奉獻的精神”，對學生適當地進行情感態度價值觀培養.

根據以上背景分析與目標分析，確定本節課的教學重點與教學難點如下.

教學重點：直線的參數方程中對參數幾何意義的理解以及參數方程的簡單應用.

教學難點：直線的參數方程中參數的選擇、直線的單位方向向量的確定.

四、教學設計思路與教法分析

按照提出問題—獨立思考—探究合作—小組展示—應用回顧的順序，學習的過程中，體驗從特殊到一般，一般到特殊探索、解決問題的途徑.在數形結合、轉化與化歸的過程中，在提出問題、解決問題的過程中，提升學生利用數學知識分析問題、解決問題的能力，提升數學素養，提高應用意識.

教學方法：根據新課程理念，堅持“以學生為主體，教師為主導”的原則，結合學生特點，本節主要采用啟發學生自主探究和引導小組討論的教學方法，并借助多媒體輔助教學來提高課堂效率.

五、教學過程設計

（一）問題引入

教師引語：同學們，我們在必修2已經學習了直線的五種方程，在選修2-1也已學習了圓錐曲線的普通方程，在本冊前面兩節，我們剛剛學過圓、橢圓、雙曲線、拋物線的參數方程，體會到了參數方程在解決最值、距離等問題時的優越性，那么直線的參數方程是什么呢？它又會給我們帶來哪些驚喜呢？下面我們進入今天的學習.

設計意圖：聯系前面的知識，回憶有關內容，激發學生興趣，面對解析幾何部分學生有些望而生畏，本節又激發了學生學好解析幾何的信心.

展示本節課的學習目標.

問題1

（1）在平面直角坐標系中，確定一條直線需要哪幾個條件？

（2）當已知直線上一個定點（x0，y0），傾斜角為α時說出直線的方程.

（3） ①數乘向量λa的長度與方向是怎樣規定的？

② 共線向量定理

師生活動：教師提出問題，學生思考后回答，引導學生對本源性的知識回顧.第（1）個問題中，學生說兩個點，或是一個點和斜率，在此就暴露了學習中的不嚴謹.緊接著第（2）個問題，學生使用了點斜式方程，但又忽略了斜率不存在的情況，在此糾正錯誤，并為參數方程中不需討論傾斜角等不等于90度埋下伏筆;另外，從向量的角度，傾斜角體現了方向，一個點，為直線參數方程的推導中向量這個工具的引入打下基礎.第（3）個問題，學生可能不知道和本節課的聯系，但在接下來借助向量的運算中推導參數的幾何意義提供理論依據，讓學生體會基礎知識的重要性.

設計意圖：通過對直線和向量知識的回顧，回歸本源，啟發知識聯想，為利用向量解決參數方程問題做好鋪墊.在此體會解析幾何研究問題的視角，數與形的結合.

（二）新知探究

問題2

（1）如何利用傾斜角α寫出直線l的單位方向向量e？并說明e的方向;

（2）如何用e和M0的坐標表示直線上任意一點M的坐標？

師生活動：學生閱讀教材后思考，然后小組討論，并將討論結果展示.第（1）個問題中表示單位方向向量e時用到了任意角三角函數的定義，這里體現學生的學習基礎，并體會知識的聯系（本身向量和三角函數就有很緊密的聯系），說明e的方向需要數形結合來看;第（2）個問題是難點，在此需要引入參數，怎么想到設t，學生在已經閱讀完教材后再回答，難度降低，在此用到了共線向量基本定理，又是基礎知識的應用，學生進一步體會到基礎的重要性.