數值實驗在《數值分析》教學中的重要性分析

程攀 田園

數值實驗與《數值分析》教學的融合，有助于《數值分析》課堂教學的實效性的提升。本文從《數值分析》教學中存在的主要問題入手，對數值實驗在《數值分析》教學中的重要性進行分析，并在此基礎上分析了數值實驗應用于《數值分析》教學的主要措施。

《數值分析》是各大高校理工科專業的重要必修課程。這一課程具有實用性強與實踐性強的特點。現階段高校物理學專業、計算機專業和機械工程等專業對《數值分析》課程具有較為嚴格的掌握要求，經濟管理專業中的風險投資專業與財務管理專業也對這一課程的掌握情況提出了一定的要求。就我國高校發展現狀而言，《數值分析》課程教學改革工作的開展，是高校教育改革工作中的一項重要內容。數值實驗在《數值分析》教學中的重要性也得到了研究者的關注。

1 《數值分析》教學中存在的主要問題

1.1 教學內容過多，課時較少

《數值分析》課程教學內容過多與課時過少的矛盾是《數值分析》教學中存在的突出矛盾。《數學分析》課程涉及到的知識點內容較為很廣泛，隨著社會經濟的不斷發展，這一課程的教學內容會隨著科學理論的發展而不斷更新。在計算機技術高度發達的現代社會，《數值分析》課程與計算機技術之間也具有較為密切的聯系。一些建立在計算機技術基礎之上的新知識與新方法的新出現，也讓《數值分析》課程的學習內容得到了拓展。在課程教學內容較為廣泛的情況下，教師并不能在有限的課時內，對教學內容進行充分講解。

1.2 教學內容相對獨立

根據一些研究者的研究結果，《數值分析》課程不僅有知識點復雜多樣的特點，其教學內容也具有一定的獨立性。教學內容的獨立性是計算方法及數學理論的獨立性。在計算方法及數學理論的講解安排較為獨立的情況下，教師并不能對這一課程所涉及到的知識點的發展脈絡進行充分講解。在教師自身難以對知識點發展歷程進行有效梳理的情況下，學生也難以對與之相關的計算機知識與數學理論進行綜合運用。

1.3 重理論輕實踐

在課堂教學方面，教師在這一課程的講解過程中表現出了重理論輕實踐的問題。現階段《數值分析》課程與計算機技術之間具有較為密切的聯系，但是在傳統教學模式下，教師在教學過程中過于注重數值方法原理的講授，在實踐教學內容有待重視的情況下，學生往往難以對實驗內容產生較為深刻的體會，故而在課堂知識學習過程中，一些學生對教材中所涉及到的算法缺少深入了解。學生在學習到具體的理論知識以后，可能難以將相關知識應用于實際問題的解決過程之中。

1.4 直觀性差

隨著教學技術的不斷發展，多媒體技術開始在《數值分析》教學中得到應用，很多教師已經開始利用多媒體手段。多媒體技術與課堂教學之間的融合，有助于課堂教學的開展，但是就《數值分析》教學的實際情況而言，課堂教學仍然存在著直觀性不足的問題。以《數值分析》中工地誤差內容為例，《數值分析》課程中所講解的誤差多以截斷誤差為主。拉格朗日插值計算是《數值分析》課程中的一大重要內容。在傳統教學模式下，教師往往會從量的角度入手，對誤差的相關內容進行講解。如拉格朗日插值的插值余項計算公式為：

根據上述公式的內容，截斷誤差可以被看作是一種量化的概念，學生在學習過程中往往會采用被動記憶的記憶方式。利用多媒體技術對上述內容進行直觀展示，可以讓學生加深對這一理論結果的理解。

2 數值實驗在《數值分析》教學中的重要性

2.1 有助于《數值分析》課堂教學的優化

《數值分析》教學的可視化水平的提升，可以讓學生加深對課堂所學的知識內容的了解。教師在《數值分析》課程教學中注重課堂教學的優化，不僅可以讓學生的計算機技術應用能力與數值計算能力得到提升，也可以讓學生的學習興趣得到充分調動。數值實驗與《數值分析》教學之間的結合，有助于“純教學”式課堂教學模式的轉變。如在《數值分析》課程的傳統教學模式下，教師在課堂教學中會重點講解算法理論，數值實驗可以讓一些與計算機有關的元素應用于《數值分析》課程教學，以促進學生綜合能力的提升。如針對一些學生在計算機領域存在的編程能力不足的問題，教師可以在課堂教學階段，為學生提供算法計算流程圖，并設計一些與教學內容有關的實驗參考程序。在實踐教學中為學生提供實踐編程的機會，也可以讓他們加深對數值方法論的了解，進而提升他們的學習興趣。

2.2 有助于《數值分析》算法原理的講解

《數值分析》課程中講解的算法可以被看作是數值實驗的理論基礎。在課堂教學中，教師需要對這些算法的思想原則進行講解。就《數值分析》課程的整個教學過程而言，這一課程所涉及到的算法的求取結果以目標近似解為主。注重目標近似解的求取，也是《數值分析》與《線性代數》及《概率論》課程之間的差異性的反映。讓學生對目標近似解在《數值分析》課程中的重要性進行明確，可以讓他們在數值實驗實施過程中，明確試驗目標，繼而擺脫注重解析解的固定化思維方式。差值問題、擬合問題、數值微分及積分（微分）方程數值等內容也是《數值分析》課程中的重要內容，教師在課堂教學中也可以指導學生利用函數逼近思想求取實際問題的解。

2.3 有助于《數值分析》實踐教學的優化

數值實驗在《數值分析》教學之間的融合，也有助于《數值分析》實踐教學的優化。上機實驗課程是在《數值分析》課程中發揮著較為重要的作用。上機實驗課要求學生在教室的指導下開展計算機實操，以了解程序語言的使用方法。教師需要為學生提供一些由易到難的題目，供學生動手編程，并要及時指出學生在編程期間出現的錯誤支出。根據數值實驗的實施需要，教師可以將《數值分析》課程中涉及到的一些算法設計成易于操作的界面。界面的可擴展性是教師在界面設計方面所要關注的問題。在界面設計完成以后，學生可以將自己開發的程序安裝于算法操作界面之中，進而在數值實驗系統建設完成以后，將其應用于《數值分析》課程的學習過程之中。除此以外，這一界面也可以應用于算法數值驗算過程、算法實際應用檢驗與數學模型數值求解過程之中。

3 數值實驗應用于《數值分析》教學的主要措施

3.1 注重問題教學法的應用

問題教學法是以人們在日常生活中遇到的實際問題為切入點，培養學生解決實際問題的能力的教學方法。在數值實驗應用于《數值分析》課程以后，仍然可以根據日常生活實際，編制一些與數值分析內容有關的問題，并讓學生結合問題了解所學知識。根據《數值分析》課程的特點，教師可以借助歸納、分析及演練等方式完成具體數學模型的構建，并要借助數學模型對不同的解決辦法存在的優缺點進行分析，進而將不同方法應用于不同問題的解決過程之中。例如曲線擬和在《數值分析》課程中具有較為重要的作用。如在地質學領域，基準面旋回變化理論可以被看作是高分辨率層序地層中的核心元素。與之相關的基準面積可以被看作是一種上下升降震蕩界面。此種震蕩界面也可以被看作是一種橫向擺動的彎曲界面。此種震蕩曲線與正弦曲線具有一定的相似性。在數值分析方面，此種基準面變化曲線既可以被看作是標準化的正弦曲線，也可以被視為變形的正弦曲線。它也可以被看作是簡單的正弦曲線或疊加化的復合正弦曲線。受基準面變化曲線的影響，地層基準面旋回樣式會呈現出多樣化的特點。如根據一些研究者的研究結果，其基準面與sinx、sin2x及sin6x等因素之間具有一定的聯系，故而與之相關的基準面問題可以利用數值實驗進行求取，假設地質學基準面影響因素以sinx、sin2x、sin3x、sin4x、sin5x和sin6x等內容有關，研究者可以以上述6種因素為基函數，對最小二乘法進行應用。以下公式為上述六種因素影響下的擬和公式：

就上述案例而言，數值實驗在《數值分析》課程教學中可以發揮出激發學生學習欲望的作用。基于數值方法的實際應用案例的應用，可以讓學生對數值方法的價值與含義進行明確，進而讓學生對這一課程的實用性有所了解。

3.2 注重對比教學法的應用

對比教學法也是《數值分析》中常用的一種教學方法。此種方法與多媒體教學之間的有效結合，有助于《數值分析》課程的課堂教學效率的提升。在對比教學法應用于課堂教學以后，教師可以讓學生對不同理論知識與計算方法的應用情況進行充分了解。數值分析在解決實際問題的過程中發揮著較為重要的作用，對傳統方法與現代化數值分析之間的聯系與區別進行明確，也有助于課堂教學效率的提升。借助某些特定案例對傳統數學方法的解決方法及數值分析的解決方法進行比較對比，可以讓學生更好地了解數值分析的相關知識。不同算法之間的比較分析，也可以應用于數值分析教學之中。與數值試驗有關的追趕法是適用于三對角方程組的一種算法，如假設A=[ ]，f=[5 6 7]，求解Ax=f

在解決此類問題過程中，相關人員可以借助追趕法，構建用于三對角方程組求解的程序的界面，該界面也需要具有準確輸入數據的能力。追趕法可以被看作是LU分解的特殊表現形式。它建立在系數矩陣的實際特點的基礎之上。在矩陣法應用于三對角方程組求解過程以后，矩陣三角分解計算可以與2個三角方程組的計算相結合，進而讓算法呈現出緊湊化的特點，同Guass算法相比，追趕法在計算量方面也具有一定的優勢。

3.3 注重思維方式的培養

《數值分析》課程與高等數學、線性代數及概率論等學科之間具有較為密切的聯系。《數值分析》課程的教學內容多集中于實際問題的求解過程，高等數學等課程所關注的內容為實際問題的精確度及與之相關的理論推導。傳統的教育模式往往會讓教學主要內容集中于高等數學方面，針對《數值分析》課程的特點，教師需要對學生在數值分析課程方面的思維方式的培養工作進行強化。

結語：電子計算機技術的快速發展與新型數值軟件的研發，讓《數值分析》課程的重要性有所提升。數值實驗與《數值分析》課堂教學的融合，有助于《數值分析》教學的優化。

（作者單位：重慶交通大學）