遞推思想在概率統(tǒng)計當(dāng)中的應(yīng)用

陳迪群

摘 要：遞推思想是研究和解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想，指的是一種用若干步可重復(fù)運算來描述復(fù)雜問題的方法。遞推是序列計算中的一種常用算法，通常是通過計算前面的一些項來得出序列中的指定項的值。遞推算法產(chǎn)生于古代的邏輯推理學(xué)說，有著相當(dāng)明顯的規(guī)律性和極為嚴(yán)格的邏輯性，并且也有很大的可操作性，因而在近代被運用在了數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域，取得了較好的效果。

關(guān)鍵詞：遞推思想；概率統(tǒng)計；高考趨勢；綜合能力

概率統(tǒng)計是高中數(shù)學(xué)重要的一部分，它是通過研究自然界當(dāng)中的隨機現(xiàn)象，總結(jié)其發(fā)生規(guī)律性的一門學(xué)科。概率統(tǒng)計還需要利用實驗給統(tǒng)計方法做出嚴(yán)格的理論證明，并判定各種方法應(yīng)用的條件、方法、公式的可靠度和局限性。概率統(tǒng)計的知識在現(xiàn)實當(dāng)中對企業(yè)的生產(chǎn)和人們的生活也有很強的指導(dǎo)性，因此概率統(tǒng)計的知識有很強的實踐性，高中學(xué)生學(xué)好概率統(tǒng)計有很強的的現(xiàn)實意義。

一、研究高考趨勢，重視學(xué)生的綜合能力

隨著近幾年教育的改革，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)科之間知識綜合性的考查越來越明顯，不僅要求學(xué)生能夠掌握教材當(dāng)中的知識，還要能夠?qū)⒏鞣N知識進行組合，站在整體的高度進行靈活運用。可以通過對近幾年全國一卷理科數(shù)學(xué)的考點及思想進行分析從而發(fā)現(xiàn)高考命題趨勢，現(xiàn)在越來越來重視考查學(xué)生的綜合問題的處理能力，尤其這幾年在概率統(tǒng)計方面體現(xiàn)得尤為明顯，像2016，2017，2018，2019年概率統(tǒng)計方面的解答題都是如此。因此高中數(shù)學(xué)教師想要提升教學(xué)質(zhì)量，就必須要把握高考趨勢，重視學(xué)生綜合能力的培養(yǎng)。下面以2019全國高考理科數(shù)學(xué)21題為例，介紹一下現(xiàn)在高考對學(xué)生綜合能力的考查。它的難點在于甲藥的治愈率是和乙藥有密切聯(lián)系，不能將其單獨進行分割，必須要考慮乙藥的效果，因此，二者的效果其實都是相對而言的。第一問只要掌握X的三種情況即可得出答案，第二問涉及到了遞推思想，就是要計算出i=0，1，……8時的各種情況，從而證明數(shù)列是等比數(shù)列。本題涉及到了概率、數(shù)列、運算等多種數(shù)學(xué)知識，要求學(xué)生具有較高綜合能力才能做出正確的解答。

二、結(jié)合遞推思想，重視概率統(tǒng)計教學(xué)

從以上案例可以看出，近幾年的高考加強了對概率統(tǒng)計方面知識的考查，連續(xù)幾年將概率統(tǒng)計知識作為壓軸題目。從考生的結(jié)果來看，大部分優(yōu)秀學(xué)生都不能正確地解答這些題目，只有極少數(shù)尖子生才能完成，數(shù)學(xué)成為了影響考生高考成績的關(guān)鍵，概率統(tǒng)計成為了數(shù)學(xué)教學(xué)的重點和難點。本人在教學(xué)當(dāng)中發(fā)現(xiàn)，遞推思想是一種重要的教學(xué)手段，在概率統(tǒng)計教學(xué)當(dāng)中具有十分有效的作用。例如，拋擲一枚均勻的硬幣，正面朝上記1分，反面朝上記2分，求證明：得n分的概率為 [2+（﹣ ）n]。這道題是第十二屆加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克試題，乍一看確實不太好證明，但是如果利用遞推思想將n的前幾位數(shù)字代入公式當(dāng)中就會變得很容易，首先是n=1，這時公式結(jié)果為 ，而此時硬幣得1分的概率，即正面朝上的概率正是 。當(dāng)n=2時，公式結(jié)果為 ，根據(jù)題意n=2有兩種情況，即投擲了兩次全都是正面朝上，這時概率為 ，第二種情況為投擲一次正好是反面，此時概率為 ，二者相加正好為 ，以此進行類推，就容易得出結(jié)論。因此，遞推思想在現(xiàn)實當(dāng)中有很強的實踐意義，是基于條件變化之后，對結(jié)果的一種推斷，教師應(yīng)當(dāng)重視遞推的教學(xué)方法。

三、理論結(jié)合實際，提升學(xué)生的實踐能力

數(shù)學(xué)是一門很有現(xiàn)實意義的學(xué)科，從日常生活當(dāng)中的購物，到企業(yè)財政收支的計算，再到工程的預(yù)算等，可以說涉及到了生活的方方面面。數(shù)學(xué)的最終目的就是為了解決現(xiàn)實問題，教育部也明確要求要重視培養(yǎng)學(xué)生解決現(xiàn)實問題的能力，這樣數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就會更加有意義。因此教師在教學(xué)當(dāng)中，應(yīng)當(dāng)以現(xiàn)實生活當(dāng)中發(fā)生的現(xiàn)象為教學(xué)案例，創(chuàng)設(shè)生活情境，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中更加關(guān)注社會現(xiàn)實，從而培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。從近幾年的高考趨勢來看，越發(fā)重視對現(xiàn)實問題的分析，而概率的問題又與現(xiàn)實結(jié)合得十分緊密，幾乎很多事情的發(fā)生和不發(fā)生都與概率有關(guān)。例如，一農(nóng)民養(yǎng)著10只小兔，公母各5只，4年以后小兔子會長大并且進行繁殖，一次繁殖10只（還定義為公母各5只），此后每年繁殖一次，而兔子的壽命為8年，求n年以后農(nóng)民家里兔子的數(shù)量？計算農(nóng)民家里有100只兔子的概率？這也是一道具有典型意義的題目，需要學(xué)生認(rèn)真進行審題，了解成年兔子和幼年兔子的關(guān)系，才能做出正確的解答。

綜上所述，遞推思想是一種重要的數(shù)學(xué)教學(xué)思想，蘊含著嚴(yán)密的邏輯性和明顯的規(guī)律性，對概率統(tǒng)計教學(xué)有著有力的促進作用。通過研究近幾年的高考趨勢可以明顯發(fā)現(xiàn)，高考對學(xué)生的綜合能力考查越來越突出，對概率統(tǒng)計這方面的知識考查越來越重視。因此，必須要研究高考趨勢，重視學(xué)生綜合能力的培養(yǎng)；利用遞推思想，來解決概率統(tǒng)計教學(xué)當(dāng)中的重點知識和難點知識；最后還要理論結(jié)合實際，發(fā)揮數(shù)學(xué)的實用價值，提升學(xué)生的實踐能力和解決現(xiàn)實問題的能力，只有這樣才能提升學(xué)生的高考數(shù)學(xué)成績，提高教學(xué)的質(zhì)量，為社會培養(yǎng)更多高素質(zhì)人才。

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