基于提升直觀想象素養的“函數的零點”問題初探

何開應

摘 要：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的過程。主要包括：利用圖形描述數學問題，建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路。

關鍵詞：直觀想象；函數的零點；分段函數

“函數的零點”是普通高中課程標準實驗教科書數學A必修一 第三章第一節“函數與方程”中的內容。教科書是這樣定義函數的零點：對于函數 ，把使 的實數 叫做函數 的零點。因此，函數零點的定義中充分體現出直觀想象能力的要求。那么直觀想象素養的提升在“函數的零點”問題中有哪些體現呢？

一、初等函數下的“函數的零點” 問題

在中學數學課程中，基本初等函數有以下六個：常量函數 （ 是常數）；冪函數 （ 是常數）；指數函數 ；對數函數 ；三角函數 。由基本初等函數經過有限次四則運算與復合運算所得到的函數，統稱為初等函數。那么，初等函數下的“函數的零點”是如何體現直觀想象素養的？

（一）可求出“函數的零點”問題

例1【12湖北理-9】函數 在區間 上的零點個數為（ ）

（A）4 （B）5 （C）6 （D）7

【解析】令 得 ，則 或 ，

即 或 .

又 ， ，共有6個零點.故選C.

【初探一】對于可求出“函數的零點”的問題，常有兩種題型：第一，根據函數的解析式，求出方程的根與函數的零點或零點個數；第二，已知函數的零點個數，求函數解析式中的參數值或參數的取值范圍。

這一問題下的直觀想象要求是：會畫基本初等函數的圖象，會根據圖象找到其與x軸交點的橫坐標。

（二）不可求出“方程的根與函數的零點”問題

例2【13天津理-7】函數 的零點個數為（ ）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

【解析】令 得 ，

即 ，

所以函數 的零點個數

即為函數 與 圖像的交點個數.

在同一直角坐標系中畫出函數 與

的圖像如圖所示，易知有2個交點，

即函數 有2個零點，故選B.

【初探二】對于不可求出“函數的零點”的問題，三種題型：第一，根據函數的解析式，判斷方程的根或函數的零點所在的區間；第二，根據函數的解析式，判斷方程的根或函數的零點個數；第三，已知函數的零點個數，求函數解析式中的參數值或參數的取值范圍。

這一問題下的直觀想象要求是：會將零點問題轉化為兩個函數圖象的交點個數問題，會用變換法畫函數的圖象，會根據圖象找到交點個數。

二、分段函數下的“函數的零點” 問題

例3【12遼寧理-11】設函數 滿足 ，且當 時， .又函數 ，則函數 在 上的零點個數為（ ）

（A）5 （B）6 （C）7 （D）8

【解析】令 得 ，即 ，

則 在 上的零點個數等價于函數 與 的圖像在區間 上的交點個數.

根據已知條件，函數 是偶函數，

且周期是2，在同一直角坐標系中

畫出函數 與 的圖像如圖所示，

由圖可知函數 與 的圖像在區間 上的交點個數有6個，

故函數 在 上的零點個數為6個.故選B.

總之，數學是研究空間形式和數量關系的科學，需要抽象和概括，也需要直觀和想象。通過直觀想象核心素養的培養，學生能夠養成利用圖形思考問題的習慣，提升數形結合的能力，建立良好的數學直覺，理解事物本質和發展規律。

參考文獻：

[1]李霞，黃凱.以函數零點的問題為例——談數學核心素養培養[J].中國農村教育，2019（20）：192.