例談極坐標與參數方程巧解方法

閻芳

摘 要：《極坐標與參數方程》在高考題中屬選考的重要內容，大部分學校都選做這部分內容，此部分內容與圓錐曲線有很多交集，是對解析幾何的完善。

關鍵詞：極坐標方程 參數方程 普通方程 幾何意義

極坐標與參數方程在高考文科數學中屬中檔答題，是解析幾何、平面向量、三角函數等內容的綜合應用，它體現了代數與幾何的完美對應關系。本文參照近幾年高考文科數學中的高頻題型，例談三種巧解方法。

坐標系與參數方程在高考題中一般設計兩個小問。

一、第（1）問：極坐標與直角坐標的互化、參數方程與普通方程的互化。

將極坐標化為直角坐標可以把不熟悉的問題轉化為常用形式，二者的互化前提是：①極點與原點重合②極軸與X軸正方向重合③取相同的單位長度。④ ， ，ρ2=x2+y2.

參數方程化為普通方程的基本思路是消去參數，常用方法有：代入消參法、加減消參法、恒等式消參法?；胀ǚ匠虨閰捣匠痰幕舅悸肥且雲?，一般地常選用的參數有角、有向線段的數量、斜率、某一點的橫坐標（縱坐標）。

二、第（2）問：距離、面積、最值、斜率、坐標、代數式的值等。

（一）巧用參數方程表示曲線上的點。

在最新的2019全國I卷以及2017全國I卷都出現了曲線上的點到直線距離的最值問題.，通常采用參數方程來表示曲線上的點，將問題轉化為三角函數的最值問題.結合輔助角公式及點到直線距離公式求解，注意角度的取值范圍。

（2019全國I卷）在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為 （t為參數），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為 .

（1）求C和l的直角坐標方程；（2）求C上的點到l距離的最小值.

（1）由 得： ，又

整理可得 的直角坐標方程為：

又 ， 的直角坐標方程為：

（2）設 上點的坐標為：

則 上的點到直線 的距離

當 時， 取最小值，則

（二）巧用參數方程中t的幾何意義

參數t的幾何意義的運用，從直線的參數方程（標準形式）入手，保留參數t進行運算，使用此方法，需要掌握以下結論：

1、過點P ，傾斜角為 的直線的標準參數方程為

（t為參數），常見方程 （t為參數）

若 ，則該方程為標準參數方程；

若 ，化為標準參數方程 （t為參數）

2、過點P的直線與曲線相交，交點為A，B，對應的參數分別為t1，t2.

（1）弦長|AB|=

（2）弦AB的中點?t1+t2=0；（3）|PA||PB|=|t1t2|.

例、設直線 經過點 ，傾斜角 . （1）寫出直線 的參數方程；

（2）設直線 與圓 相交于兩點A，B.求P到A、B距離的和與積.

解：（Ⅰ）依題意得 ：直線 的參數方程為 ①

（Ⅱ）由①代入圓的方程 得

由 的幾何意義 ，因為點P在圓內，這個方程必有兩個實根，

所以

（三）巧用極坐標方程求解

一般地，都是將極坐標方程轉化成熟悉的直角坐標形式再求解，但在某些題中用極坐標方程進行解答會使問題更簡單。

（2016全國Ⅱ卷）在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為

（1）以坐標原點O為極點x軸的正半軸為極軸建立坐標系，求C的極坐標方程。

（2）直線 的參數方程是 （t為參數）， 與C交于A，B兩點，

|AB|= ，求 的斜率。

解析：（I）由 可得 的極坐標方程

（II）在（I）中建立的極坐標系中，直線 的極坐標方程為

由 所對應的極徑分別為 將 的極坐標方程代入 的極坐標方程得

于是

由 得 ，所以 的斜率為 或 .

坐標系是解析幾何的基礎，是聯系幾何和代數的橋梁，坐標系的思想是現代數學最重要的思想之一，在不同的坐標系中同一幾何圖形可以有不同的表示形式，這使解決問題的方法有了更多的選擇