對一道高考題的解法探究與思考

李坤麗 胡典順

一題多解是提高數學解題能力的有效途徑。在一題多解中，通過典型問題呈現不同解法的同時，回顧與綜合不同的知識點與不同的數學思想方法，靈活應用數學知識，充分暴露思維過程，真正提升能力，培養數學素養。三角函數作為中學數學中很重要的一個知識點，是歷年高考必涉及的，題目一般具有基礎性，本質性強的特點。2019年高考全國Ⅰ卷第17題是一道綜合利用正弦定理、余弦定理解三角形的問題，涉及到兩角和差公式以及正余弦公式、同角三角函數關系的應用，題目本身難度不大但卻能很好地考查學生對知識的熟練程度和理解程度，學生的解答能較好反應其真實素養水平。

原題：（2019年高考全國Ⅰ卷第17題）. 的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設 .

（1）求A；

（2）若 ，求sinC.

題目解析：本題考查利用正弦定理、余弦定理求解三角形的問題，涉及到兩角和差公式以及正余弦公式、同角三角函數關系的應用，解題關鍵是能夠利用正余弦定理進行邊和角的相互轉化并利用邊角關系式進行化簡，得到對應所求的角之間的關系。對于第一問基本沒有設置障礙，屬于送分題，直接利用正弦定理化簡已知邊角關系式可得： ，從而得 ，再由余弦定理和 即可直接求解出答案。對于第二問由題目已知條件利用正弦定理很容易得出結論，但是在具體求解中會存在一定的障礙，本題作為數學試卷的第一個答題，知識的掌握和解題的熟練度對學生的心態和最終考核結果有很重要的作用。而本題從多角度給予了學生思考和解答的空間，不僅可以考查學生的知識掌握程度，還可以綜合考查學生對數學知識的理解程度和綜合利用數學知識的數學意識.方法并不唯一，視角開闊，綜合考查數學素養，彰顯了“立德樹人”的目標導向，同時也是評價體系轉變的一個良好實例。

（2）思路一：利用兩角和差公式進行求解

方法1：由（1）知 ， ，由題知 ，依據正弦定理可得： 整理得 ，即 ， ，所以 ， .

方法2：由（1）知 ， ，由題知 ，依據正弦定理得： ，

整理得 ， ， ，所以 ，可得 .

所以 .

方法3：由 ，得： 即 ，

得： ，

所以 .

點評：利用正余弦定理對三角形求解屬于常規題，對于本題其涉及的一個難點在于題目中所給出的角具有一定的特殊性，需要學生能夠活學或用，靈活處理所給式子。解題過程能很好地反映出學生對該知識點理解掌的程度以及數學運用能力，達到測試的目的.

（2）思路二：利用三角形三角直接的關系進行求解

方法4：已知 ， ， ， ，

得 ， ， ，因 所以 ，故 .

方法5：由已知依據正弦定理得： ，

整理得 ，兩邊平方整理得： ， ， ，所以 ， .得 .

方法6：由題知 ，即 ，根據射影定理知 ，由（1）知角 ，所以 ， ， .

點評：因為整個解題里只涉及到三角形的三個角和邊，學生會自然聯想到邊角關系進行求解，且第一問為第二問做了一定得鋪墊，學生容易捕獲解題的信息點。這一做法思路較流暢，屬于順勢而上的直線型思維，能很好地考查學生對知識的掌握程度。

（2）思路三：利用正余弦定理直接進行求解

方法7：由題知 （1）， ，即 （2）由兩式聯立得：將（2）式代入（1）式消去c整理得： ， ，將其帶入（1）可得 ，由正弦定理： ， ， ， ，從而 ，同法4 ，故 .

方法8：步驟同一： ，由正弦定理：， ， ， ，得 .同理 ，故 .

結束語：

考場上學生容易緊張，出現稍需要技巧處理的題很容易慌張，但如能把握住運算的本質，還是可以拿到相應的分數。上述三種方法中第三種思路相對于前兩種思路更清晰，兩個未知數兩個方程，直接對相應邊角進行求解，但計算過程相對而言較前兩者復雜，需要學生具備良好的計算能力和耐心細心的心理素質。三種思路均可以從不同層次對考生的數學素養進行考查，在知識考查中更切實地考查學生靈活應用數學知識的能力，充分暴露其思維過程，真正體現能力，展現數學素養水平。

作者簡介：

李坤麗（1993-），女，漢，陜西，在讀碩士，碩士，華中師范大學，課程與教學論，430079。