引入電荷面密度處理平行板電容器動(dòng)態(tài)問題

戎加磊

摘 要：本文將介紹運(yùn)用電荷面密度快速判斷電場變化的方法，避開繁瑣的計(jì)算過程，進(jìn)而快速求解其他物理量，為該類問題教學(xué)提供參考。

關(guān)鍵字：高斯定理；平行板電容器；電場強(qiáng)度

一、引入電荷面密度

在電磁學(xué)中，根據(jù)高斯定理：通過一個(gè)任意閉合曲面 的電通量 等于該曲面所包圍的所有電量的代數(shù)和 除以 （ 為真空介電常數(shù)），與閉合曲面外的電荷無關(guān)。可以用以下公式表示[1]

對于平面均勻帶電情形，利用高斯定理，可以求解出其電場強(qiáng)度 。現(xiàn)在假設(shè)一個(gè)面積為 、帶電量為 的平面，如下圖甲所示，為方便討論，建立空間直角坐標(biāo)系，作出高斯閉合曲面（虛線長方體），將帶電平面包圍，如圖乙所示。

根據(jù)帶電平面電場分布呈對稱性且垂直于帶電平面（即上圖中的與 軸平行方向）[1]，為方便起見，上圖乙中的高斯閉合曲面取為一個(gè)長方體，因?yàn)?軸和 軸方向沒有電場，故電場僅僅穿過長方體左右兩個(gè)面，面積均為 ，電場與之垂直。利用高斯定理，電通量表示為

因此，帶電平面電場強(qiáng)度為

由上式可得，真空中帶電極板的電場強(qiáng)度與距離無關(guān)，而是取決于電荷面密度 和 ，因此從電荷面密度和真空介電常數(shù)可以直接判斷出電場強(qiáng)度的變化，避開繁瑣計(jì)算過程，掌握這個(gè)技巧，對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生會有很大幫助。

二、平行板電容器的極板間的電場

平行板電容器由正負(fù)兩個(gè)極板組成，所帶電荷量為某一極板電荷量。因此極板間的電場強(qiáng)度需要經(jīng)過兩個(gè)帶電平面的電場強(qiáng)度矢量疊加合成，在真空中如下

所以在平行板電容器中，（真空中）電場強(qiáng)度為 ，電場強(qiáng)度可以從電荷面密度 的變化來判斷。因此電容器動(dòng)態(tài)問題中，電容器與電源斷開或其他帶電量 不變的諸類情形，從電荷面密度可直接判斷電場變化，不需要從電容器基本定義式出發(fā)逐步推導(dǎo)。

在下列情形（真空中）中，當(dāng)情形一變化到情形二時(shí)，電荷量 不變，而正對面積 減小，所以電荷面密度 增大，故電場強(qiáng)度增大，再由 ，判斷出兩極板電勢差增加。

情形一變?yōu)榍樾稳龝r(shí)，電荷量 和正對面積 不變，故電荷面密度 不變，電場強(qiáng)度不變，因 ，判斷出兩極板電勢差增加。

若極板之間充入其他介質(zhì)（非真空），電容器中極板間電場可簡單歸納為 ， 為電介質(zhì)的絕對介電常數(shù)，且存在關(guān)系 。

三、牛刀小試原題

（2017江蘇高考）如圖所示，三塊平行放置的帶電金屬薄板A、B、C中央各有一小孔，小孔分別位于O、M、P點(diǎn)。由O點(diǎn)靜止釋放的電子恰好能運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)。現(xiàn)將C板向右平移到P′點(diǎn)，則由O點(diǎn)靜止釋放的電子（ A ）

解析：各個(gè)極板帶電情況與以前相同，可視為帶電量不變，雖然加大間距，因極板正對面積 不變，則電荷面密度 不變，則極板間電場強(qiáng)度不變，因此電子運(yùn)動(dòng)時(shí)受力情況不變，故運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)返回。

四、結(jié)束語

采用本文方法，對極板間電場變化情況，引入高斯定理方法較為方便。避開頗多計(jì)算過程，快速得出電場變化情況，從而得出其他物理量變化，減小了解題障礙，不易出錯(cuò)，不耗時(shí)，即可解決該類型問題，是行之有效的方法。在今后該類問題教學(xué)中，可以引入該方法，降低學(xué)生學(xué)習(xí)困難，對培養(yǎng)學(xué)生自信心和提升學(xué)習(xí)興趣有較大幫助。

參考文獻(xiàn)：

【1】褚祝文. 巧用電荷面密度（σ）對平行板電容器動(dòng)態(tài)分析[J]. 中學(xué)物理，2012，30（11）：23-24.