淺談初中數(shù)學中方程思想的幾種應(yīng)用

周慶靈

摘要：方程思想是一種重要的數(shù)學思想.用方程的思想去解題是初中數(shù)學一種常用的解題方法.本文通過典型例題解析了方程思想方法的三種應(yīng)用，即方程思想在計算、幾何、函數(shù)中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學;方程思想;應(yīng)用

1 方程思想

解析幾何的創(chuàng)立者Rene Descartes 曾經(jīng)這樣說過：“一切問題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，一切數(shù)學問題都可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，而一切代數(shù)問題又都可以轉(zhuǎn)化為方程問題.因此，一旦解決了方程問題，一切問題都將迎刃而解.”盡管這種觀點有夸大，但也從側(cè)面反映了方程思想在數(shù)學學習中的重要性.

方程思想就是分析數(shù)學問題中的變量間的等量關(guān)系，建立方程（組），或者構(gòu)造方程（組），通過解方程（組），或者運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題得以解決[1].而其中最核心步驟就是找等量關(guān)系[2].然而如何運用方程思想解決數(shù)學學習、教學、現(xiàn)實應(yīng)用中的問題呢？關(guān)鍵就是設(shè)法將問題抽象或轉(zhuǎn)化為方程模型進行討論和分析.這正是“力圖改變思路（try a switch）”啟發(fā)自己思考的“元啟發(fā)（meta-heurist-ics）”策略[3].

2 方程思想在初中數(shù)學中的應(yīng)用

方程是代數(shù)最基本的內(nèi)容之一.它研究事物間的等量關(guān)系，并為人們提供由已知量推求未知量的重要方法，在數(shù)學各分支及其他許多學科都有廣泛的應(yīng)用[4]. 而方程思想是初中數(shù)學中一種基本的思想方法.初中階段我們陸續(xù)學習了一元一次方程、二元一次方程（組）、分式方程、一元二次方程，從中感受到了方程思想在解決實際問題當中的重要性以及優(yōu)越性.并且在利用方程思想解決實際問題時，可以將繁瑣的問題簡單化，特殊的問題一般化.

2.1方程思想在計算問題中的應(yīng)用

方程思想是初中代數(shù)中最重要的數(shù)學思想，它貫穿于整個初中代數(shù)的始終.如在某些計算題中可以利用方程思想通過設(shè)未知數(shù)進行整體代換來簡化計算.

例1.閱讀下列材料，并用相關(guān)的思想方法解題.

計算：.

解：設(shè)，

則原式.

（1）計算：

解：設(shè)，

則原式

解方程：.

解：設(shè)，則原方程化為，即.

解得：.

當時，解得;

當時，，即.

，此方程無解.

綜上：原方程的解為：.

評注：第一問是利用整體代換思想構(gòu)建含有未知數(shù)的代數(shù)式求解;第二問是利用整體代換思想將四次方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解.

2.2方程思想在幾何問題中的應(yīng)用

通過設(shè)未知數(shù)，列方程（組），將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，這是解決幾何問題的一種非常重要的方法.現(xiàn)舉例說明如下.

例2. 如圖1，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD.求∠A的度數(shù).

解∵AB=AC，BD=BC=AD（已知）

∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD（等邊對等角）

設(shè)∠A=x°，則∠BDC=∠A+∠ABD=2x°

從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x°在△ABC中， 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理有x+2x+2x=180 解得x=36 ∴∠A=36°.

評注： 本道題的求解過程中，充分利用了等腰三角形性質(zhì)定理以及三角形內(nèi)角和定理，最后通過設(shè)未知數(shù)，列一元一次方程，求出角的度數(shù).

2.3方程思想在函數(shù)問題中的應(yīng)用

方程思想的獨特優(yōu)勢是使問題簡單化，方便解題。同樣，方程思想在函數(shù)中也有著相當廣泛的應(yīng)用。

例3.如圖2，建立平面直角坐標系xoy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米.某炮位于坐標原點.已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方

表示的曲線上，其中與發(fā)射方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標.

（1）求炮的最大射程;

（2）設(shè)在第一象限有一飛行物（忽略其大?。?，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標

不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由.

解：（1）在中，

令，

得.

由實際意義和題設(shè)條件知.

所以，當且僅當k=1時取等號.

所以炮的最大射程是10千米.

（2）因為a>0時，所以炮彈可以擊中目標等價于存在，使成立， 即關(guān)于k的方程

有正根.

由得a≤6.

此時，（不考慮另一根）.

所以當不超過6千米時，炮彈可以擊中目標.

評注：第一問是利用函數(shù)構(gòu)建方程，求出橫坐標;第二問是利用一元二次方程根的判別式求最大值.

3 結(jié)束語

通過對方程思想定義的理解，分析了其在初中數(shù)學中的三種應(yīng)用，展現(xiàn)了方程思想在解決問題過程中的重要性.借助例題，具體的表達了怎樣將方程思想中蘊含的特征性質(zhì)靈活的運用在問題之中.同時，也反映了在初中數(shù)學的學習中方程思想應(yīng)用的普遍性.

參考文獻

[1] 陳婷，劉玉勝，李曼生.函數(shù)與方程思想在中學數(shù)學中的運用[J].數(shù)學教學研究，2011，30（12）：

62-64.

[2] 吳增生.方程思想[J].中學數(shù)學教學參考，2012，（3）：49-52.

[3] Sternberg R J，Davidson J E.The Nature of Insight[M].Cambridge，M A：The M IT Press，1995：328-364.

[4] 李長明，周煥山.初等數(shù)學研究[M].北京：高等教育出版社，1995：186.