一道反證法題目的解法分析

洪婷

反證法是高中數學的一種重要的的證明方法，也是間接證明的一種基本方法，它在不等式和立體幾何中經常被用到。

反證法證明題目的大致步驟分為三步：（1）反設：作出與求證的結論相反的假設;（2）歸謬：由反設出發，導出矛盾結果;（3）作出結論：證明了反設不能成立，從而證明了所求證的結論成立。其中，導出矛盾是關鍵。通常情況下，有幾下幾種矛盾：與已知矛盾，與定義、公理、定理、事實矛盾，與假設矛盾，自相矛盾等。

反證法主要用于以下兩種情形：（1）要證的結論與條件之間的聯系不明顯，直接由條件推出結論的線索不夠清晰;（2）如果從正面證明，需要分成多種情形進行分類討論，而從反面進行證明，只要研究一種或很少的幾種情形。

下面，就以我在教學過程中遇到的一道題目為例，來談談利用反證法證明此題可能遇到的哪些矛盾，具體如下：

正確作出反設，是使用反證法的一大關鍵。要分清命題的條件和結論，結論和反設間的邏輯關系。結論的反面不止一種時，需反設后，對各種情況進行歸謬，做到無一遺漏。如何導出矛盾，歸謬，是反證法的關鍵，也是困難所在。導出矛盾的過程，沒有固定的模式，要憑借我們已經擁有的知識和具備的能力，善于從反設和條件中，抓住蛛絲馬跡，突破攻克難點。導出矛盾，要從反設出發，否則，推導將成為無源之水，無本之木，推理必須嚴謹，必須有理有據。本例通過一題多解，學生可以掌握此題導出矛盾的不同方法，貫穿所學知識，觸類旁通，鍛煉了學生思維的靈活性和廣闊性。

反證法的作用很大，它不僅在我們數學中有廣泛的應用，在日常生活或解決某些數學問題時，有時也會不自覺地去使用。它既是一種簡明實用的數學證題方法，也是一種重要的數學思想。反證法的獨特的思維方式和證題方法對提高學生創造性地分析問題和解決問題的思想素質有重要的意義。