一道反證法題目的解法分析

洪婷

反證法是高中數(shù)學(xué)的一種重要的的證明方法，也是間接證明的一種基本方法，它在不等式和立體幾何中經(jīng)常被用到。

反證法證明題目的大致步驟分為三步：（1）反設(shè)：作出與求證的結(jié)論相反的假設(shè);（2）歸謬：由反設(shè)出發(fā)，導(dǎo)出矛盾結(jié)果;（3）作出結(jié)論：證明了反設(shè)不能成立，從而證明了所求證的結(jié)論成立。其中，導(dǎo)出矛盾是關(guān)鍵。通常情況下，有幾下幾種矛盾：與已知矛盾，與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾，與假設(shè)矛盾，自相矛盾等。

反證法主要用于以下兩種情形：（1）要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰;（2）如果從正面證明，需要分成多種情形進(jìn)行分類討論，而從反面進(jìn)行證明，只要研究一種或很少的幾種情形。

下面，就以我在教學(xué)過程中遇到的一道題目為例，來談?wù)劺梅醋C法證明此題可能遇到的哪些矛盾，具體如下：

正確作出反設(shè)，是使用反證法的一大關(guān)鍵。要分清命題的條件和結(jié)論，結(jié)論和反設(shè)間的邏輯關(guān)系。結(jié)論的反面不止一種時(shí)，需反設(shè)后，對(duì)各種情況進(jìn)行歸謬，做到無一遺漏。如何導(dǎo)出矛盾，歸謬，是反證法的關(guān)鍵，也是困難所在。導(dǎo)出矛盾的過程，沒有固定的模式，要憑借我們已經(jīng)擁有的知識(shí)和具備的能力，善于從反設(shè)和條件中，抓住蛛絲馬跡，突破攻克難點(diǎn)。導(dǎo)出矛盾，要從反設(shè)出發(fā)，否則，推導(dǎo)將成為無源之水，無本之木，推理必須嚴(yán)謹(jǐn)，必須有理有據(jù)。本例通過一題多解，學(xué)生可以掌握此題導(dǎo)出矛盾的不同方法，貫穿所學(xué)知識(shí)，觸類旁通，鍛煉了學(xué)生思維的靈活性和廣闊性。

反證法的作用很大，它不僅在我們數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，在日常生活或解決某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，有時(shí)也會(huì)不自覺地去使用。它既是一種簡(jiǎn)明實(shí)用的數(shù)學(xué)證題方法，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想。反證法的獨(dú)特的思維方式和證題方法對(duì)提高學(xué)生創(chuàng)造性地分析問題和解決問題的思想素質(zhì)有重要的意義。