基于案例分析的初中數學幾何基本圖形的教學探索

江蘇省蘇州工業園區唯亭學校 顧成華

在進行幾何教學過程中，常會發現有些學生面對一些陌生的問題時往往束手無策，也有不少學生只會做那些剛見過、做過的，比較熟悉或相似的題目。當學生不會做題時，問他在思考時都想到了什么，他往往會回答：“大腦中一片空白，不知道怎樣想。”學生提煉不出解題思路的根本原因，筆者以為是學生不能把問題化歸轉化，是缺乏分析推理能力的表現，究其原因，是對數學基本圖形不熟悉。教師需要在平時的教學過程中有意識地幫助學生提煉基本圖形，強化訓練基本圖形。教師應告訴學生：在分析幾何問題時，首先要試圖找出、分離適當的基本圖形，如果不能找到完整的基本圖形，那么要根據題干中的線索去捕捉部分基本圖形，這時可通過添加適當的輔助線來構造完整的基本圖形，進而應用基本圖形的性質來解決具體的問題。顯然，學生習得、提取基本圖形的能力還有待提高。

一、基本圖形的概念

所謂基本圖形，應該是我們分析解決幾何問題時，從問題圖形中分離出來的最簡單、最基本、最重要而且具有特定性質的圖形。從基本圖形運用的難易程度來看，它可以分為兩類：第一類是現行初中數學教材中出現的定義、公理、定理以及推論所對應的圖形，第二類是在教材對應的例題、習題、練習中發現的具有典型性的圖形。第一類基本圖形是第二類基本圖形的基礎，第二類基本圖形通常是由幾個第一類基本圖形組合而成的。

圖1 是定理“三角形中位線平行于第三條邊，并且等于第三邊的一半”所對應的基本圖形，屬于第1 類基本圖形，圖2 是“中點四邊形”所對應的基本圖形，由對角線相等可得中點四邊形是菱形，由對角線互相垂直可得中點四邊形是矩形，反推亦成立，這就屬于第2 類基本圖形。

二、初中數學幾何教學中對于基本圖形教學的幾點思考

《數學課程標準》在幾何方面的學習要求是讓學生“能從較復雜的圖形中分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關系，利用直觀來進行思考”。基于多年的教學實踐及平日的探索，筆者以為，應把習得基本圖形、直接提取基本圖形、間接提取基本圖形相結合，從而實現對基本圖形的掌握和靈活運用，這可通過以下幾個步驟實現：

1.通過教學習得基本圖形，熟知基本圖形的條件和結論以及證明或求解的方法

教材中幾何的復習課一般都是幾何的定義、定理、推論等的進一步學習，往往可以對已經習得的知識進行更高層次的升華，而它們所對應的基本圖形就是前面所說的第2 類基本圖形，因此教師在上課時要注重對這些基本圖形的總結和提煉。

蘇科版八年級上冊第3 章第3 節“勾股定理的簡單應用”有這樣一道題：一根竹子原高一丈（1 丈=10 尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3 尺，試問折斷處離地面多高？

這道實際問題轉化為數學問題就是：如圖3，已 知∠C=90 度，AB=BD，AC=10，CD=3，求BC的長度。

在這道題目中，已知直角三角形三邊中一邊CD的長度以及另外兩邊BC、BD的和，因此可以設BC為x，則BD為10-x，利用勾股定理得到方程進行求解，本題中還可以求出AB和BD的長度。

本題還可以改編成：在Rt △BCD中，∠C=90 度，AB=BD，已知AB、BC、AC、CD中任意兩條線段的長度，你能求出其他線段的長度嗎？

答案是都可以求出來的，因此，可以得到這個基本圖形的條件是：直角三角形，兩條線段相等，知道兩條線段的長度（不包括題中兩條相等線段的情況），可以求出基本圖形中其他線段的長度。

這是勾股定理和翻折構成的基本圖形，屬于第2 類基本圖形，由于此圖形形狀類似于紅旗，為了方便學生記憶，遂把這個基本圖形定名為“紅旗模型”。

紅旗模型還有一些其他結構，比如《九章算術》中有一道“引葭赴岸”問題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊。問水深、葭長各幾何？”題意是：有一個池塘，其底面是邊長為10 尺的正方形，一棵蘆葦AB生長在它的中央，高出水面部分BC為1 尺，如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦的頂部B恰好碰到岸邊的B'（如圖4）水深和蘆葦長各多少尺？

本題轉化為數學問題是：如圖5，已知∠CBD=90°，AC=CD，AB=0.5，BD=2，求BC的長度。

再比如：如圖6，∠ACB=90°，BC=BD，已知AD和AC的長度，可以求BD，BC，AB的長度。這兩道題都可以進行類似的改編，解題方法也都和圖3 類似。

2.通過發展條件和結論反推，直接提取基本圖形解決問題。

所謂直接提取基本圖形，就是在有其他圖形干擾的情況下，能夠根據條件或結論找出基本圖形。因為通過學習已經對某個基本圖形有所了解和理解，學生就能有的放矢，直接依據題設條件或結論提取相應的基本圖形，并運用基本圖形的性質解決問題，例如：

如圖7，折疊直角三角形ABC，使直角邊AC落在斜邊AB上（AD為折痕，C落在E上），已知AC=6，BC=8，求CD的長。

解答：由勾股定理易得AB=10，BE=4，由翻折得CD=DE，故可以找到如圖8 的基本圖形，即可求出答案。

變式：如圖9，折疊直角三角形ABC，使點B落在點A上（DE為折痕），已知AC=6，BC=8，求CD的長。

解答：可在圖形中直接找到基本圖形，如圖10，大多數學生都可以又快又準確地完成這道題。

3.通過添加適當輔助線，間接提取基本圖形解決問題

如果無法直接提取基本圖形，可考慮作適當的輔助線來構造基本圖形，通過間接提取基本圖形來解決問題。在學生極其熟悉基本圖形，能夠準確提取后，就要引導學生能辨認出略帶殘缺的基本圖形，經過多樣的反復訓練后，使其內化成為學生的數學素養，并能在應用過程中舉一反三。

筆者挑選了幾個典型的題目，結合自己的教學心得，談談這個解題技巧，以作參考。

例1：如圖11，矩形OABC在平面直角坐標系xOy的第一象限內，點C在x軸正半軸上，點A在y軸正半軸上，連接AC，將矩形OABC沿AC翻折，使點B落在點D的位置，若點B的坐標為(2，1)，則點D的坐標是_________。

解答：設CO與AD相交于點E，折疊后CD=CB=OA=1，由平行線、角平分線構成的基本圖形可得等腰三角形ACE，再設CE=AE=x，在Rt △AOE中，由勾股定理求出x的值，然后作DF⊥x軸，根據△AOE∽△DFE即可得出答案。

評注：本題是利用相似三角形對應線段成比例建立方程求解，困難之處在于比例式中有部分線段長度未知，通過翻折構造紅旗模型，如圖12，則可化解這一難點。

例2：如圖13，ABCD是一張矩形紙片，AD＝BC＝1，AB＝CD＝5。在矩形ABCD的邊AB上取一點M，在CD上取一點N，將紙片沿MN折疊，使MB與DN交于點K，得到△MNK。如何折疊能夠使△MNK的面積最大？請你探究可能出現的情況，求出最大值。

解答：（1）將矩形紙片對折，使點B與點D重合，如圖14。此時點K也與點D重合，由平行線、角平分線構成的基本圖形可得等腰三角形DMN，再設KM=x，則AM=5-x，由勾股定理求出KM和KN的值，最后求出△MNK的最大面積。（2）也可將矩形紙片沿對角線AC對折，如圖15，下面的解法和第（1）種情況相類似。

評注：問題中，兩種翻折情況均是先畫出翻折后的圖形，通過構造基本圖形——紅旗模型求出KN的長，再借助求KN的最大值求出△MNK面積的最大值。

筆者僅以勾股定理與翻折的基本圖形“紅旗模型”這一基本圖形為例，探索了如何教會學生習得基本圖形、直接提取基本圖形、間接提取基本圖形，最終解決問題的教學思路，也試圖以此拋磚引玉，與其他同仁探討基本圖形的教學策略，完善基本圖形分析法，讓我們的課堂教學更高效，讓學生的解題能力更高強，以達到雙贏的結果。